Rectas y puntos notables del triángulo; alturas y diagonales de los cuadriláteros

Si quieres equilibrar un triángulo de cartón sobre la punta de un lápiz, tienes que apoyarlo en un punto muy concreto: su centro de gravedad. Ese punto, y otros tres igual de especiales, se encuentran trazando las rectas notables del triángulo.

En tu libro: este tema está en las páginas 170 a 176 de Saberes y pensamiento científico. Primer grado (SEP).

Las cuatro rectas notables y sus puntos

Para memorizar: mediatriz y mediana pasan las dos por el punto medio de un lado; la diferencia es que la mediana llega al vértice y la mediatriz es perpendicular al lado.

Mediatrices y circuncentro

1. Traza la mediatriz de cada lado. Con compás: abre más de la mitad del lado, traza arcos desde cada extremo y une los dos cruces.
2. El punto $C$ donde se cortan es el circuncentro.
3. Apoya el compás en $C$, ábrelo hasta cualquier vértice y traza la circunferencia circunscrita: pasa por los tres vértices.

¿Dónde queda el circuncentro?

Bisectrices e incentro

1. Traza la bisectriz de cada ángulo. Con compás: desde el vértice, un arco que corte los dos lados; desde esos cortes, dos arcos que se crucen; une el vértice con el cruce.
2. El punto $I$ donde se cortan es el incentro. Siempre queda dentro del triángulo.
3. Con una escuadra traza una perpendicular desde $I$ hasta un lado y llama $D$ al punto donde lo toca.
4. Con centro en $I$ y radio $\overline{ID}$ traza la circunferencia inscrita: toca cada lado en un punto.

Alturas y ortocentro

Cada altura sale de un vértice y cae perpendicular al lado opuesto. En los triángulos obtusángulos hay que prolongar los lados, porque dos alturas caen por fuera. Las tres se cortan en el ortocentro:

Medianas y baricentro

Cada mediana une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Las tres se cortan en el baricentro $G$, que siempre queda dentro. Es el punto de equilibrio: si cuelgas el triángulo de cartón desde $G$, queda horizontal.

Dato extra: el baricentro está a $\frac{2}{3}$ de cada mediana, contando desde el vértice.

¿Qué punto conviene en cada problema?

Nota: el libro dice que, para construir un hospital a la misma distancia de tres localidades, hay que buscar el baricentro. Es un error: el baricentro no está a la misma distancia de los tres vértices. El punto que cumple esa condición es el circuncentro, el que se obtiene con las mediatrices.

Alturas y diagonales de los cuadriláteros

Altura: es el segmento perpendicular a la base que llega al lado opuesto. En los paralelogramos y trapecios mide la distancia entre la base y el lado paralelo a ella. En el cuadrado y el rectángulo, la altura coincide con un lado. En el rombo, el romboide y los trapecios no rectángulos hay que trazarla con escuadra.

Diagonal: es el segmento que une dos vértices no consecutivos. De cada vértice de un cuadrilátero sale una sola diagonal, así que todo cuadrilátero tiene 2 diagonales. En el cuadrado $ABCD$ las diagonales son $\overline{AC}$ y $\overline{BD}$.

Comprueba lo aprendido

1. ¿Qué diferencia hay entre una mediana y una mediatriz?Ver respuestaOcultar respuesta

Las dos pasan por el punto medio de un lado. La mediana llega al vértice opuesto; la mediatriz es perpendicular al lado y no tiene por qué pasar por el vértice.

2. Tres casas forman un triángulo. ¿Dónde pondrías una antena para que quede a la misma distancia de las tres?Ver respuestaOcultar respuesta

En el circuncentro, donde se cortan las mediatrices del triángulo.

3. ¿Cuál es el único punto notable que puede quedar fuera del triángulo además del ortocentro?Ver respuestaOcultar respuesta

El circuncentro (en los triángulos obtusángulos). El incentro y el baricentro siempre quedan dentro.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de geometría

Temas relacionados: clasificación de triángulos y cuadriláteros y rectas notables con coordenadas (preparatoria).

Referencias

• Secretaría de Educación Pública (2025). Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Primer grado. SEP, pp. 170-176.
• Baldor, A. (2004). Geometría y trigonometría. Grupo Editorial Patria.

Ver libro de texto (SEP)