Ecuaciones de primer grado con una incógnita: enteras y fraccionarias

Una ecuación es una igualdad con una o más incógnitas, valores desconocidos que la hacen verdadera. Las de primer grado (o lineales) tienen la incógnita elevada a la potencia 1, como $5x - 7 = 2x + 8$. Resolverlas es encontrar el valor de la incógnita, la solución o raíz.

Propiedades de la igualdad

Puedes hacer cualquiera de estas operaciones sin que la igualdad cambie, siempre que la hagas en ambos lados:

• Sumar o restar el mismo número.
• Multiplicar o dividir entre el mismo número (distinto de cero).

En la práctica, esto equivale a «pasar» términos al otro lado con la operación contraria, como en los despejes.

Método general

1. Elimina paréntesis.
2. Elimina denominadores multiplicando todo por el mcm.
3. Pasa los términos con $x$ a un lado y los números al otro.
4. Reduce términos semejantes.
5. Despeja $x$.
6. Comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Ecuaciones enteras

Ejemplo 1: $5x - 7 = 2x + 8$

$$5x - 2x = 8 + 7 \;\Rightarrow\; 3x = 15 \;\Rightarrow\; x = 5$$

Comprobación: $5(5) - 7 = 18$ y $2(5) + 8 = 18$ ✓

Ejemplo 2 (con paréntesis): $3(x-2) - 2(x+1) = 4$

$$3x - 6 - 2x - 2 = 4 \;\Rightarrow\; x - 8 = 4 \;\Rightarrow\; x = 12$$

Cuidado con el signo: $-2(x+1) = -2x - 2$.

Ecuaciones fraccionarias

Se multiplica toda la ecuación por el mcm de los denominadores.

Ejemplo 3: $\dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{4} = 7$. El mcm es 12:

$$12\cdot\frac{x}{3} + 12\cdot\frac{x}{4} = 12\cdot 7 \;\Rightarrow\; 4x + 3x = 84 \;\Rightarrow\; x = 12$$

Ejemplo 4: $\dfrac{x-1}{2} - \dfrac{x+3}{5} = 1$. El mcm es 10:

$$5(x-1) - 2(x+3) = 10 \;\Rightarrow\; 5x - 5 - 2x - 6 = 10 \;\Rightarrow\; 3x = 21 \;\Rightarrow\; x = 7$$

El paréntesis en $-2(x+3)$ es esencial: el signo menos afecta a todo el numerador.

Con la incógnita en el denominador

Ejemplo 5: $\dfrac{3}{x-2} = \dfrac{5}{x+2}$. Se multiplica en cruz:

$$3(x+2) = 5(x-2) \;\Rightarrow\; 3x + 6 = 5x - 10 \;\Rightarrow\; 16 = 2x \;\Rightarrow\; x = 8$$

En este tipo de ecuaciones hay que verificar que la solución no anule ningún denominador. Aquí $x = 8$ no hace cero a $x-2$ ni a $x+2$, así que es válida.

Casos especiales

• Sin solución: si al simplificar queda una igualdad falsa. $2x + 1 = 2x + 5 \Rightarrow 1 = 5$ ✗.
• Infinitas soluciones (identidad): si queda una igualdad siempre verdadera. $2(x+1) = 2x + 2 \Rightarrow 2 = 2$ ✓ para cualquier $x$.

Interpretación gráfica

Resolver $5x - 7 = 2x + 8$ equivale a encontrar dónde se cruzan las rectas $y = 5x - 7$ y $y = 2x + 8$. El cruce ocurre en $x = 5$:

• y = 5x − 7
• y = 2x + 8

Comprueba lo aprendido

1. Resuelve $4x + 9 = x - 3$Ver respuestaOcultar respuesta

$3x = -12 \Rightarrow x = -4$.

2. Resuelve $\frac{x}{2} - 1 = \frac{x}{3}$Ver respuestaOcultar respuesta

Multiplica por 6: $3x - 6 = 2x \Rightarrow x = 6$.

3. Resuelve $2(3x-1) = 4x + 6$Ver respuestaOcultar respuesta

$6x - 2 = 4x + 6 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado

Referencias

• Baldor, A. (2007). Álgebra. Grupo Editorial Patria.
• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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