Rectas paralelas, distancia de un punto a una recta y distancia entre dos rectas paralelas

Las vías del tren, los renglones de tu cuaderno y las líneas de un paso peatonal son paralelas: nunca se juntan. ¿Y cómo se mide qué tan lejos está una casa de una carretera recta? Con la distancia de un punto a una recta, que siempre se mide en perpendicular.

En tu libro: este tema está en las páginas 84 a 89 de Saberes y pensamiento científico. Primer grado (SEP).

Rectas paralelas

Dos rectas son paralelas si están en el mismo plano y nunca se cruzan, por más que se prolonguen. Eso significa que están siempre a la misma distancia una de otra. Se escribe $r \parallel s$ (”$r$ es paralela a $s$”).

Las paralelas pueden estar en cualquier dirección: horizontales, verticales o inclinadas.

Distancia de un punto a una recta

De todos los segmentos que puedes trazar desde un punto $P$ hasta una recta, el más corto es el perpendicular. Su longitud es la distancia.

1. Con una escuadra, traza desde $P$ una perpendicular a la recta.
2. Marca el punto donde la perpendicular toca la recta.
3. Mide el segmento entre $P$ y ese punto.

Si mides con un segmento inclinado, obtendrás un número mayor que la distancia verdadera.

Página 87: en el plano cartesiano

La recta pasa por $(1, 7)$ y $(7, 3)$, y el punto es $P(6, 8)$. La perpendicular desde $P$ llega a la recta en el punto $(4, 5)$. El segmento d va de $(6, 8)$ a $(4, 5)$: avanza 2 unidades a la izquierda y baja 3 unidades. Es la diagonal de un rectángulo de 2 × 3.

Para calcular su longitud se usa el teorema de Pitágoras, que verás a fondo más adelante: la diagonal de un rectángulo de lados $a$ y $b$ mide $\sqrt{a^2 + b^2}$.

$$d = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \approx 3.6 \text{ unidades}$$

El libro da el resultado en centímetros (3.6 cm) porque supone que cada cuadrito del plano mide 1 cm. Por eso es importante que todos los cuadros midan lo mismo.

Distancia entre dos rectas paralelas

Como las paralelas están siempre a la misma distancia, basta con:

1. Elegir cualquier punto de una de las rectas.
2. Trazar desde él una perpendicular a la otra recta.
3. Medir ese segmento.

Da igual qué punto elijas: el resultado siempre es el mismo. Si dos rectas dan distancias distintas en lugares distintos, no son paralelas.

Página 89: dos paralelas en el plano

La recta $r$ pasa por $(7, 2)$ y $(2, 7)$, y la recta $s$ por $(9, 4)$ y $(4, 9)$. Un segmento perpendicular a las dos va de $(4, 5)$, en $r$, a $(6, 7)$, en $s$. Avanza 2 a la derecha y sube 2:

$$d = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} \approx 2.8 \text{ unidades}$$

Ojo: el segmento no mide “2 espacios”, aunque avance 2 cuadros en cada dirección. Va en diagonal, así que mide más: unos 2.8.

Un caso fácil: paralelas horizontales

Las rectas $y = 2$ y $y = 7$ son horizontales y paralelas. La perpendicular entre ellas es vertical, y su distancia es simplemente $7 - 2 = 5$ unidades.

Comprueba lo aprendido

1. ¿Cuál es la distancia del punto (3, 9) a la recta horizontal y = 4?Ver respuestaOcultar respuesta

La perpendicular es vertical: $9 - 4 = 5$ unidades.

2. Desde un punto se trazan a una recta un segmento perpendicular de 6 cm y uno inclinado. ¿El inclinado puede medir 5 cm?Ver respuestaOcultar respuesta

No. El perpendicular es el más corto, así que cualquier segmento inclinado mide más de 6 cm.

3. ¿Cómo comprobarías con una regla y una escuadra que dos rectas son paralelas?Ver respuestaOcultar respuesta

Midiendo la distancia perpendicular entre ellas en dos o más lugares distintos: si siempre da lo mismo, son paralelas.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de medición

Temas relacionados: longitud y distancia entre dos puntos, rectas notables del triángulo y la fórmula de distancia entre paralelas (preparatoria).

Referencias

• Secretaría de Educación Pública (2025). Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Primer grado. SEP, pp. 84-89.
• Baldor, A. (2004). Geometría y trigonometría. Grupo Editorial Patria.

Ver libro de texto (SEP)