Propiedades conmutativa, asociativa y distributiva de la suma y la multiplicación

¿Cuánto es $25 \times 7 \times 4$? Si lo haces en orden cuesta trabajo, pero si primero haces $25 \times 4 = 100$, el resultado sale al instante: 700. Eso es posible gracias a las propiedades de la suma y la multiplicación, que permiten cambiar el orden y la forma de agrupar sin alterar el resultado.

En tu libro: este tema está en las páginas 47 a 51 de Saberes y pensamiento científico. Primer grado (SEP).

Partes de la suma y la multiplicación

La multiplicación se puede escribir con $\times$, con un punto ($3 \cdot 4$) o con paréntesis: $3(4)$ y $(3)(4)$ significan $3 \times 4$.

Propiedad conmutativa: el orden no importa

“El orden de los factores no altera el producto.”

$$a + b = b + a \qquad\qquad a \times b = b \times a$$

• $8 + 5 = 5 + 8 = 13$
• $9 \times 15 = 15 \times 9 = 135$
• Funciona con cualquier cantidad de números: $7 + 11 + 43 + 18 + 6 = 85$ en el orden que sea, y $4 \times 6 \times 9 \times 12 = 2\,592$ también.

Propiedad asociativa: la agrupación no importa

Cuando hay tres o más números, puedes agrupar los dos primeros o los dos últimos y el resultado es el mismo.

$$(a + b) + c = a + (b + c) \qquad\qquad (a \times b) \times c = a \times (b \times c)$$

• $(5 + 3) + 7 = 8 + 7 = 15$ y $5 + (3 + 7) = 5 + 10 = 15$
• $(6 \times 4) \times 2 = 24 \times 2 = 48$ y $6 \times (4 \times 2) = 6 \times 8 = 48$

Nota: el libro explica la propiedad asociativa diciendo que “no importa el orden en el que se sumen las cantidades”. Eso describe la conmutativa. La asociativa no cambia el orden de los números, solo dónde van los paréntesis: en $(5 + 3) + 7$ y $5 + (3 + 7)$ los números siguen en el mismo orden. En la práctica se usan las dos juntas.

Propiedad distributiva: repartir la multiplicación

Multiplicar un número por una suma (o resta) es lo mismo que multiplicarlo por cada término y después sumar (o restar).

$$a(b + c) = ab + ac \qquad\qquad a(b - c) = ab - ac$$

Página 51: los ejemplos del libro

$$12(7 + 9) = 12(7) + 12(9) = 84 + 108 = 192 \qquad \text{y también} \qquad 12(16) = 192$$

$$3(18 - 6) = 3(18) - 3(6) = 54 - 18 = 36 \qquad \text{y también} \qquad 3(12) = 36$$

Para qué sirven: cálculo mental

¿Y la resta y la división?

No son conmutativas ni asociativas:

• $10 - 4 = 6$, pero $4 - 10 = -6$.
• $12 \div 3 = 4$, pero $3 \div 12 = 0.25$.
• $(20 - 5) - 3 = 12$, pero $20 - (5 - 3) = 18$.

Por eso hay que respetar el orden en las restas y divisiones.

En álgebra

La distributiva es la base del álgebra: $3(x + 4) = 3x + 12$. La usarás todo el tiempo al resolver ecuaciones.

Comprueba lo aprendido

1. Calcula mentalmente 4 × 13 × 25.Ver respuestaOcultar respuesta

$(4 \times 25) \times 13 = 100 \times 13 = 1\,300$.

2. Usa la propiedad distributiva para calcular 8 × 99.Ver respuestaOcultar respuesta

$8(100 - 1) = 800 - 8 = 792$.

3. Desarrolla 6(x + 5).Ver respuestaOcultar respuesta

$6x + 30$.

4. ¿La resta es conmutativa? Da un ejemplo.Ver respuestaOcultar respuesta

No. $9 - 2 = 7$, pero $2 - 9 = -7$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de números y operaciones

Temas relacionados: jerarquía de operaciones, lenguaje algebraico y propiedades de los números reales (preparatoria).

Referencias

• Secretaría de Educación Pública (2025). Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Primer grado. SEP, pp. 47-51.
• Baldor, A. (2007). Aritmética. Grupo Editorial Patria.

Ver libro de texto (SEP)