Razones y proporciones: proporcionalidad directa, inversa y no proporcional en tablas y gráficas

Si un kilo de manzanas cuesta 20 pesos, tres kilos cuestan 60: es proporcionalidad directa. Si 2 personas cargan un camión en 8 horas, 4 lo cargan en 4 horas: es proporcionalidad inversa. Y si un taxi cobra 15 pesos de banderazo más 10 por kilómetro, el precio sube, pero no es proporcional. En esta clase aprenderás a distinguir los tres casos en tablas y gráficas.

En tu libro: este tema está en las páginas 159 a 169 de Saberes y pensamiento científico. Primer grado (SEP).

Razón

Una razón compara dos cantidades mediante un cociente. La razón de $a$ a $b$ se escribe de varias formas, que se leen ”$a$ es a $b$”:

$$\frac{a}{b} \qquad a : b \qquad a \div b$$

$a$ es el antecedente, $b$ el consecuente y el resultado $k$ es el cociente o valor de la razón.

Las razones suelen comparar magnitudes, es decir, cantidades con unidades: “100 centímetros son a 1 metro” (100 : 1).

Nota: el libro dice que en una razón “el segundo componente puede ser cero” y pone como ejemplo una bolsa sin dulces azules, con “razón 12:0”. Como la razón es un cociente y no se puede dividir entre cero, el consecuente no puede ser 0. Lo correcto sería decir que la razón de dulces azules al total es 0 : 12 (cero de doce), que sí tiene sentido y vale 0.

Proporción

Una proporción es una igualdad entre dos razones:

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

Se lee ”$a$ es a $b$ como $c$ es a $d$”. $a$ y $d$ son los extremos; $b$ y $c$, los medios. En toda proporción, el producto de los extremos es igual al de los medios:

$$\frac{2}{4} = \frac{3}{6} \qquad\Rightarrow\qquad 2 \times 6 = 4 \times 3 = 12$$

Esta propiedad es la base de la regla de tres.

Tres tipos de relación

La constante $k$ también se llama valor unitario: cuánto corresponde a una unidad. Si 1 kg cuesta 20 pesos, el valor unitario es 20.

Página 161: proporcionalidad directa (los sacos de maíz)

Cada saco pesa 50 kg y el camión carga 3 500 kg.

El cociente siempre es $\frac{50}{1} = \frac{100}{2} = \cdots = 50$. Para llenar el camión:

$$\frac{1}{50} = \frac{c}{3\,500} \qquad\Rightarrow\qquad c = \frac{3\,500}{50} = 70 \text{ sacos}$$

En el plano cartesiano (página 168), los puntos $(1, 50)$, $(2, 100)$… quedan sobre una recta que pasa por el origen.

Página 163: proporcionalidad inversa (los trabajadores)

2 trabajadores llenan el camión en 8 horas. Entre más trabajadores, menos tiempo; el producto es constante: $2 \times 8 = 16$.

Para 4 trabajadores: $4b = 16 \Rightarrow b = 4$ horas. La gráfica no es una recta, sino una hipérbola:

• t = 16 / n

Nota: el libro llama a este ejemplo “variación no proporcional”. No es correcto: la proporcionalidad inversa sí es un tipo de proporcionalidad, con constante $k = 16$. Una relación no proporcional es otra cosa: por ejemplo, el taxi con banderazo.

Un ejemplo no proporcional: el taxi

Banderazo de 15 pesos más 10 pesos por kilómetro:

El cociente cambia, así que no es proporcional, aunque la gráfica sea una recta ($y = 10x + 15$). No pasa por el origen: con 0 km ya pagas 15.

El plano cartesiano

Lo forman dos rectas numéricas perpendiculares: el eje $x$ (horizontal, de las abscisas) y el eje $y$ (vertical, de las ordenadas). Se cruzan en el origen $(0, 0)$ y dividen el plano en cuatro cuadrantes:

Para ubicar el punto $P(x, y)$: primero te mueves $x$ unidades en horizontal (derecha si es positivo, izquierda si es negativo) y luego $y$ en vertical (arriba o abajo). En la página 165, $A(-2, 3)$ está 2 a la izquierda y 3 arriba, en el cuadrante II; $C(3, -1)$ está 3 a la derecha y 1 abajo, en el IV.

Comprueba lo aprendido

1. Si 5 cuadernos cuestan 140 pesos, ¿cuánto cuestan 8?Ver respuestaOcultar respuesta

Valor unitario: $140 \div 5 = 28$. Ocho cuestan $8 \times 28 = 224$ pesos.

2. 6 llaves llenan una cisterna en 10 horas. ¿Cuánto tardan 4 llaves iguales?Ver respuestaOcultar respuesta

Es inversa: $k = 6 \times 10 = 60$. Con 4 llaves: $60 \div 4 = 15$ horas.

3. ¿En qué cuadrante está el punto (−5, −2)?Ver respuestaOcultar respuesta

En el III, porque las dos coordenadas son negativas.

4. Comprueba si 3/5 y 12/20 forman una proporción.Ver respuestaOcultar respuesta

$3 \times 20 = 60$ y $5 \times 12 = 60$. Los productos cruzados son iguales: sí es una proporción.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de álgebra y variación

Temas relacionados: relaciones lineales y pendiente, porcentajes y proporcionalidad inversa en 2.°.

Referencias

• Secretaría de Educación Pública (2025). Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Primer grado. SEP, pp. 159-169.
• Baldor, A. (2007). Aritmética. Grupo Editorial Patria.

Ver libro de texto (SEP)