Técnicas de conteo: principio multiplicativo y aditivo, permutaciones y combinaciones

¿De cuántas formas puedes armar un menú con 3 sopas, 4 guisados y 8 postres? Podrías escribir todas las combinaciones, pero son 96. Las técnicas de conteo permiten saber cuántas posibilidades hay sin hacer la lista. Son la base para calcular probabilidades.

En tu libro: este tema está en las páginas 144 a 153 de Saberes y pensamiento científico. Primer grado (SEP).

Resumen: ¿qué técnica uso?

Principio multiplicativo (“y”)

Si una tarea tiene varias etapas, y la primera se puede hacer de $n_1$ formas, la segunda de $n_2$ formas, etcétera, el total es:

$$n_1 \times n_2 \times n_3 \times \cdots$$

Página 145: el menú de la fonda. Sopa y guisado y postre:

$$3 \times 4 \times 8 = 96 \text{ menús distintos}$$

Otro ejemplo: con 4 playeras, 3 pantalones y 2 pares de tenis puedes vestirte de $4 \times 3 \times 2 = 24$ formas.

Un diagrama de árbol sirve para ver por qué se multiplica: de cada sopa salen 4 ramas de guisado, y de cada guisado, 8 de postre.

Principio aditivo (“o”)

Si solo vas a elegir una cosa y puede ser de un grupo o de otro, se suman las opciones:

Página 147: 8 colores, 4 bolígrafos y 3 lápices. Para tomar un objeto: $8 + 4 + 3 = 15$ formas.

Página 148: 5 autos y 3 camionetas. El primer vehículo por mover se elige de $5 + 3 = 8$ formas.

El factorial

El factorial de $n$ (se escribe $n!$) es el producto de todos los números naturales desde $n$ hasta 1:

$$n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times 1$$

Por definición, $0! = 1$. Además, $n! = n \times (n - 1)!$; por ejemplo, $5! = 5 \times 4! = 5 \times 24 = 120$.

Permutaciones: ordenar todos los elementos

Una permutación es cada forma distinta de ordenar todos los elementos de un conjunto. Si los $n$ elementos son distintos:

$$P_n = n!$$

Página 150, ejemplo 1: 6 estudiantes en una fila de 6 asientos: $6! = 720$ formas.

Página 150, ejemplo 2: con las letras de CORTINA (7 letras distintas) se forman $7! = 5\,040$ “palabras”, con o sin sentido.

¿Por qué es un factorial? Para el primer asiento hay 6 opciones, para el segundo quedan 5, luego 4… Por el principio multiplicativo: $6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$.

Permutaciones con repetición

Si algunos elementos se repiten, al intercambiarlos entre sí no se obtiene nada nuevo. Por eso se divide entre el factorial de cada repetición:

$$P = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdots}$$

Página 151: MATEMÁTICA tiene 10 letras; la M se repite 2 veces, la A 3 veces (contando la Á) y la T 2 veces:

$$P = \frac{10!}{2! \cdot 3! \cdot 2!} = \frac{3\,628\,800}{2 \times 6 \times 2} = \frac{3\,628\,800}{24} = 151\,200$$

Ejemplo corto: con las letras de OSO se forman $\frac{3!}{2!} = 3$ arreglos: OSO, OOS y SOO.

Combinaciones: cuando el orden no importa

Una combinación es un grupo de $k$ elementos elegidos de un total de $n$, sin importar el orden. Un comité formado por Ana y Luis es el mismo que uno formado por Luis y Ana.

$$C(n, k) = \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!}$$

Ejemplo sencillo: ¿cuántas parejas se pueden formar con 4 personas?

$$C(4, 2) = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{4} = 6$$

Página 152: el comité escolar. Hay que elegir 2 hombres de 4 y 3 mujeres de 5:

$$C(4, 2) \times C(5, 3) = \frac{4!}{2! \cdot 2!} \times \frac{5!}{2! \cdot 3!} = 6 \times 10 = 60 \text{ comités}$$

Fíjate que se multiplicaron las dos combinaciones: es el principio multiplicativo.

Permutación o combinación

Comprueba lo aprendido

1. Una contraseña tiene 3 dígitos (del 0 al 9) y se pueden repetir. ¿Cuántas contraseñas hay?Ver respuestaOcultar respuesta

Principio multiplicativo: $10 \times 10 \times 10 = 1\,000$.

2. ¿De cuántas formas se pueden acomodar 5 libros distintos en un estante?Ver respuestaOcultar respuesta

$5! = 120$ formas.

3. ¿Cuántas palabras distintas se forman con las letras de PAPA?Ver respuestaOcultar respuesta

$\frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{4} = 6$.

4. En un grupo de 6 amigos, ¿cuántos saludos de mano hay si cada uno saluda una vez a cada otro?Ver respuestaOcultar respuesta

Cada saludo es una pareja sin orden: $C(6, 2) = \frac{720}{24 \times 2} = 15$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de estadística y probabilidad

Temas relacionados: probabilidad, eventos independientes y dependientes y cálculo de probabilidad en 2.°.

Referencias

• Secretaría de Educación Pública (2025). Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Primer grado. SEP, pp. 144-153.
• Triola, M. F. (2018). Estadística. 12.ª ed. Pearson.

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