Relaciones lineales: pendiente positiva y negativa, razón de cambio y función y = mx + b

Si cada naranja cuesta 5 pesos, al comprar más naranjas pagas más, siempre al mismo ritmo. Si un tinaco de 600 L se vacía 20 L cada minuto, el agua baja siempre al mismo ritmo. En las dos situaciones la gráfica es una línea recta: son relaciones lineales. Lo que las distingue es la pendiente: en la primera sube y en la segunda baja.

En tu libro: este tema está en las páginas 154 a 158 de Saberes y pensamiento científico. Primer grado (SEP).

Función, variable dependiente e independiente

Una función es una regla que a cada valor de una variable le asigna un valor de otra.

• La variable independiente ($x$) es la que controlas o eliges: el número de naranjas.
• La variable dependiente ($y$) es la que resulta: el precio, que depende de cuántas naranjas compres.

En una relación de proporcionalidad directa, el cociente $\frac{y}{x}$ siempre es el mismo número $k$ (la constante de proporcionalidad):

$$\frac{y}{x} = k \qquad\Rightarrow\qquad y = kx$$

Para las naranjas: $y = 5x$. Su gráfica es una recta que pasa por el origen.

La pendiente o razón de cambio

En $y = mx$ (o $y = mx + b$), el número $m$ es la pendiente: indica cuánto cambia $y$ cada vez que $x$ aumenta 1. También se llama razón de cambio. Se calcula con dos puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$:

$$m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

$\Delta$ (delta) significa “cambio” o “diferencia”.

Cuanto mayor es $|m|$, más inclinada es la recta.

El número $b$ de $y = mx + b$ es la ordenada al origen: el valor de $y$ cuando $x = 0$, es decir, donde la recta corta al eje $y$. Si $b = 0$, la recta pasa por el origen.

Página 157: pendiente positiva

Un vehículo se prueba en una pista:

$$m = \frac{20 - 10}{40 - 20} = \frac{10}{20} = 0.5 \text{ km/min}$$

La pendiente es la velocidad: 0.5 km por minuto, que equivale a $0.5 \times 60 = 30$ km/h. La ecuación es $y = 0.5x$.

• y = 0.5x

Página 158: pendiente negativa

$$m = \frac{50 - 60}{40 - 20} = \frac{-10}{20} = -0.5 \text{ km/min}$$

Cada 20 minutos la cantidad baja 10 km. La ecuación de esta recta es:

$$y = -0.5x + 70$$

Comprobación: con $x = 20$, $y = -10 + 70 = 60$ ✓; con $x = 140$, $y = -70 + 70 = 0$ ✓.

• y = −0.5x + 70

Nota: en este ejemplo el libro tiene varios errores.

• Escribe la ecuación como $y = -0.5x$. Esa recta pasa por el origen y no por los puntos de la tabla: con $x = 20$ daría $y = -10$, no 60. La ecuación correcta es $y = -0.5x + 70$.
• Llama a la tabla “distancia recorrida”, pero la distancia recorrida nunca disminuye. Lo que baja es la distancia que falta para llegar a la meta.
• Dice que el vehículo “desacelera” de 60 a 0 km/h. Si la tabla baja siempre 10 km cada 20 min, el vehículo va a velocidad constante (30 km/h) y se acerca a su destino. Un vehículo que frena no daría una recta en una gráfica de distancia contra tiempo.

Otro ejemplo: el tinaco

Un tinaco tiene 600 L y se vacía a razón de 20 L por minuto. El agua que queda es:

$$y = -20x + 600$$

La pendiente $-20$ dice que cada minuto hay 20 L menos. El tinaco se vacía cuando $y = 0$: $-20x + 600 = 0 \Rightarrow x = 30$ minutos.

Comprueba lo aprendido

1. Un taxi cobra 12 pesos por kilómetro. Escribe la función y di cuál es la variable independiente.Ver respuestaOcultar respuesta

$y = 12x$. La independiente es $x$, los kilómetros recorridos; el precio $y$ depende de ella.

2. Calcula la pendiente entre (2, 10) y (6, 2). ¿La recta sube o baja?Ver respuestaOcultar respuesta

$m = \frac{2 - 10}{6 - 2} = \frac{-8}{4} = -2$. Es negativa, así que baja.

3. Una vela de 24 cm se consume 3 cm por hora. Escribe la función de su altura y calcula cuándo se acaba.Ver respuestaOcultar respuesta

$y = -3x + 24$. Se acaba cuando $y = 0$: $x = 8$ horas.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de álgebra y variación

Temas relacionados: proporcionalidad y no proporcionalidad, ecuaciones lineales y pendiente y ecuación de la recta (preparatoria).

Referencias

• Secretaría de Educación Pública (2025). Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Primer grado. SEP, pp. 154-158.
• Baldor, A. (2007). Álgebra. Grupo Editorial Patria.

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