Propiedades aditivas y multiplicativas de los números reales

¿Por qué $3 + 5$ da lo mismo que $5 + 3$? ¿Por qué puedes calcular $7 \times 98$ como $700 - 14$? Detrás de esos «trucos» están las propiedades de los números reales: seis reglas que la suma y la multiplicación cumplen siempre y que son la base de todo el álgebra.

Las seis propiedades

En la tabla, $a$, $b$ y $c$ representan números reales cualesquiera ($\mathbb{R}$).

Qué dice cada una

Cerradura

Al sumar o multiplicar dos números reales, el resultado también es un número real. Parece obvio, pero no pasa con todos los conjuntos: con los naturales, $3 - 5 = -2$ ya no es natural.

• $2.5 + \sqrt{2}$ es un número real.
• $(-4)\left(\dfrac{1}{3}\right) = -\dfrac{4}{3}$ es un número real.

Conmutativa

El orden no altera el resultado.

• $3 + 5 = 5 + 3 = 8$
• $4 \cdot 7 = 7 \cdot 4 = 28$

Asociativa

Cuando hay tres o más números, no importa cómo se agrupen.

• $(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9$
• $(2 \cdot 4) \cdot 5 = 2 \cdot (4 \cdot 5) = 40$

Junto con la conmutativa, sirve para calcular más rápido: $25 \cdot 17 \cdot 4 = (25 \cdot 4) \cdot 17 = 100 \cdot 17 = 1700$.

Elemento neutro

Es el número que no cambia al otro: el 0 en la suma y el 1 en la multiplicación.

• $9 + 0 = 9$
• $9 \cdot 1 = 9$

Elemento inverso

Es el número que, operado con otro, da el neutro.

• Inverso aditivo (el opuesto): el de $7$ es $-7$, porque $7 + (-7) = 0$. El de $-\dfrac{2}{5}$ es $\dfrac{2}{5}$.
• Inverso multiplicativo (el recíproco): el de $5$ es $\dfrac{1}{5}$, porque $5 \cdot \dfrac{1}{5} = 1$. El de $\dfrac{3}{4}$ es $\dfrac{4}{3}$.

El cero no tiene inverso multiplicativo: ningún número multiplicado por 0 da 1. Por eso no se puede dividir entre cero.

Distributiva

Relaciona la multiplicación con la suma: multiplicar un número por una suma es igual a multiplicarlo por cada sumando y sumar los resultados.

$$3(4 + 5) = 3 \cdot 4 + 3 \cdot 5 = 12 + 15 = 27$$

Leída al revés es la factorización por factor común: $6x + 9 = 3(2x + 3)$. También sirve para el cálculo mental:

$$7 \cdot 98 = 7(100 - 2) = 700 - 14 = 686$$

La resta y la división no las cumplen

Estas propiedades son de la suma y la multiplicación. La resta y la división no son conmutativas ni asociativas:

Por eso en álgebra la resta se trata como «sumar el inverso aditivo» ($a - b = a + (-b)$) y la división como «multiplicar por el inverso multiplicativo» ($a \div b = a \cdot \dfrac{1}{b}$).

Para qué sirven

Cada paso que das al resolver una ecuación usa alguna de ellas. Por ejemplo, para simplificar $2(x + 3) + 4x$:

Comprueba lo aprendido

1. ¿Cuáles son las propiedades de la suma y la multiplicación de números reales?Ver respuestaOcultar respuesta

Cerradura, conmutativa, asociativa, elemento neutro, elemento inverso y distributiva (que relaciona las dos operaciones).

2. ¿Cuál es el neutro aditivo y cuál el neutro multiplicativo?Ver respuestaOcultar respuesta

El neutro aditivo es 0 ($a + 0 = a$) y el neutro multiplicativo es 1 ($a \cdot 1 = a$).

3. ¿Qué propiedad justifica que $(x + 2) + 5 = x + (2 + 5)$?Ver respuestaOcultar respuesta

La propiedad asociativa de la suma: cambia la forma de agrupar, no el orden.

4. ¿Por qué el cero no tiene inverso multiplicativo?Ver respuestaOcultar respuesta

Porque cualquier número multiplicado por 0 da 0, nunca 1. Por eso la división entre cero no está definida.

5. Calcula mentalmente $6 \cdot 103$ con la propiedad distributiva.Ver respuestaOcultar respuesta

$6(100 + 3) = 600 + 18 = 618$.

Practica y repasa con ejercicios resueltos (Parte 1), ejercicios resueltos (Parte 2) y ejercicios resueltos (Parte 3) en el curso de matemáticas.

Temas relacionados: clasificación de los números, postulados de orden y ley de signos.

Referencias

• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación.

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