Rectas notables del triángulo: alturas, medianas, mediatrices y bisectrices

En todo triángulo hay cuatro tipos de rectas notables. Cada tipo aparece tres veces (una por lado o vértice), y las tres se cortan en un mismo punto con un nombre especial. Con lo que sabes de pendientes y ecuaciones de la recta, puedes calcular todos ellos.

Trabajaremos con el triángulo de vértices $A(0,\, 0)$, $B(6,\, 0)$ y $C(2,\, 4)$.

Resumen

Baricentro (medianas)

El baricentro es el promedio de los tres vértices:

$$G = \left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3},\; \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right) = \left(\frac{0 + 6 + 2}{3},\; \frac{0 + 0 + 4}{3}\right) = \left(\frac{8}{3},\; \frac{4}{3}\right)$$

Es el «centro de equilibrio» del triángulo y divide cada mediana en razón $2:1$ desde el vértice.

Ortocentro (alturas)

1. Altura desde $C$: el lado $AB$ está sobre el eje $X$ (horizontal), así que la altura es vertical: $x = 2$.
2. Altura desde $A$: la pendiente de $BC$ es $\dfrac{4 - 0}{2 - 6} = -1$, así que la perpendicular tiene pendiente $1$ y pasa por $A(0,\, 0)$: $y = x$.
3. Intersección: $x = 2$, $y = 2$.

$$H(2,\, 2)$$

Para comprobar, la tercera altura (desde $B$, perpendicular a $AC$, que tiene pendiente 2) es $y = -\frac{1}{2}(x - 6)$; en $x = 2$ da $y = 2$ ✓.

Circuncentro (mediatrices)

1. Mediatriz de $AB$: punto medio $(3,\, 0)$; como $AB$ es horizontal, la mediatriz es vertical: $x = 3$.
2. Mediatriz de $AC$: punto medio $(1,\, 2)$; pendiente de $AC$ = 2, así que la perpendicular tiene pendiente $-\frac{1}{2}$: $y - 2 = -\frac{1}{2}(x - 1)$.
3. Intersección: con $x = 3$: $y = 2 - 1 = 1$.

$$O(3,\, 1)$$

El circuncentro está a la misma distancia de los tres vértices: $OA = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$, $OB = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$ y $OC = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$ ✓. Por eso es el centro de la circunferencia que pasa por $A$, $B$ y $C$.

• circunferencia circunscrita

Incentro (bisectrices)

El incentro está a la misma distancia de los tres lados y es el centro de la circunferencia inscrita (la que toca los tres lados por dentro). Si los lados opuestos a $A$, $B$ y $C$ miden $a$, $b$ y $c$:

$$I = \left(\frac{a\,x_A + b\,x_B + c\,x_C}{a + b + c},\; \frac{a\,y_A + b\,y_B + c\,y_C}{a + b + c}\right)$$

Dato curioso: la recta de Euler

En cualquier triángulo que no sea equilátero, el ortocentro, el baricentro y el circuncentro están alineados. En nuestro ejemplo, $H(2,\, 2)$, $G\left(\frac{8}{3},\, \frac{4}{3}\right)$ y $O(3,\, 1)$ están sobre la recta de pendiente $-1$: $x + y = 4$.

Comprueba lo aprendido

1. Calcula el baricentro del triángulo con vértices $(1,\, 2)$, $(5,\, -2)$ y $(3,\, 6)$Ver respuestaOcultar respuesta

$\left(\dfrac{1 + 5 + 3}{3},\, \dfrac{2 - 2 + 6}{3}\right) = (3,\, 2)$.

2. Encuentra la mediatriz del segmento de $A(1,\, 1)$ a $B(5,\, 3)$Ver respuestaOcultar respuesta

Punto medio $(3,\, 2)$; pendiente de $AB$: $\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$; perpendicular: $-2$.

$y - 2 = -2(x - 3) \Rightarrow 2x + y - 8 = 0$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de la recta

Referencias

• Lehmann, C. H. (1989). Geometría analítica. Limusa.
• Baldor, A. (2004). Geometría plana y del espacio y trigonometría. Grupo Editorial Patria.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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