Rectas paralelas y perpendiculares, y distancia de un punto a una recta

Con la pendiente se puede saber, sin graficar, si dos rectas son paralelas, perpendiculares o se cortan en otro ángulo. En esta clase también verás cómo medir la distancia más corta entre un punto y una recta.

Rectas paralelas

Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente:

$$\ell_1 \parallel \ell_2 \quad\Longleftrightarrow\quad m_1 = m_2$$

Ejemplo: la recta que pasa por $(2,\, -1)$ y es paralela a $3x - y + 4 = 0$.

La pendiente de la recta dada es $m = -\dfrac{3}{-1} = 3$. Con la forma punto-pendiente:

$$y + 1 = 3(x - 2) \;\Rightarrow\; y = 3x - 7 \;\Rightarrow\; 3x - y - 7 = 0$$

Rectas perpendiculares

Dos rectas (no verticales) son perpendiculares si el producto de sus pendientes es $-1$; es decir, una pendiente es la recíproca con signo contrario de la otra:

$$\ell_1 \perp \ell_2 \quad\Longleftrightarrow\quad m_1\cdot m_2 = -1 \quad\Longleftrightarrow\quad m_2 = -\frac{1}{m_1}$$

Ejemplo: la recta que pasa por $(2,\, -1)$ y es perpendicular a $3x - y + 4 = 0$. Su pendiente es $-\dfrac{1}{3}$:

$$y + 1 = -\frac{1}{3}(x - 2) \;\Rightarrow\; 3y + 3 = -x + 2 \;\Rightarrow\; x + 3y + 1 = 0$$

• 3x − y + 4 = 0
• paralela: 3x − y − 7 = 0
• perpendicular: x + 3y + 1 = 0

Una recta horizontal ($m = 0$) es perpendicular a una vertical (pendiente no definida).

Ángulo entre dos rectas

$$\tan\theta = \left|\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}\right|$$

Para $m_1 = 1$ y $m_2 = 3$: $\tan\theta = \left|\dfrac{2}{4}\right| = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \theta \approx 26.57°$.

Intersección de dos rectas

El punto donde se cortan se encuentra resolviendo el sistema de ecuaciones formado por ambas. Por ejemplo, $x + y = 5$ y $2x - y = 1$ se cortan en $(2,\, 3)$.

Distancia de un punto a una recta

La distancia (perpendicular) del punto $P(x_0,\, y_0)$ a la recta $Ax + By + C = 0$ es:

$$d = \frac{\left|Ax_0 + By_0 + C\right|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

Ejemplo: distancia del punto $(3,\, 4)$ a la recta $3x + 4y - 5 = 0$:

$$d = \frac{|3(3) + 4(4) - 5|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|20|}{5} = 4$$

Distancia entre dos rectas paralelas

Si las rectas son $Ax + By + C_1 = 0$ y $Ax + By + C_2 = 0$ (mismos $A$ y $B$):

$$d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

Entre $3x + 4y - 5 = 0$ y $3x + 4y + 10 = 0$: $d = \dfrac{|-5 - 10|}{5} = 3$.

Comprueba lo aprendido

1. ¿Las rectas $2x - 3y + 1 = 0$ y $3x + 2y - 4 = 0$ son paralelas, perpendiculares o ninguna?Ver respuestaOcultar respuesta

Pendientes: $\dfrac{2}{3}$ y $-\dfrac{3}{2}$. Su producto es $-1$: son perpendiculares.

2. Encuentra la recta que pasa por $(4,\, 1)$ y es paralela a $y = -2x + 5$Ver respuestaOcultar respuesta

$y - 1 = -2(x - 4) \Rightarrow y = -2x + 9$.

3. ¿Qué distancia hay entre $3x - 4y + 2 = 0$ y $3x - 4y - 8 = 0$?Ver respuestaOcultar respuesta

$d = \dfrac{|2 - (-8)|}{\sqrt{9 + 16}} = \dfrac{10}{5} = 2$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de la recta

Referencias

• Lehmann, C. H. (1989). Geometría analítica. Limusa.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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