Pendiente y ecuaciones de la recta: todas las formas

Una recta queda determinada por dos puntos, o por un punto y su inclinación. En esta clase verás cómo medir esa inclinación (la pendiente) y las distintas formas de escribir la ecuación de una recta, que se usan según los datos que tengas.

Pendiente

La pendiente $m$ mide cuánto sube (o baja) la recta por cada unidad que avanza hacia la derecha:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\text{cambio vertical}}{\text{cambio horizontal}}$$

Para $A(1,\, 3)$ y $B(4,\, 9)$: $m = \dfrac{9 - 3}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2$. La recta sube 2 unidades por cada unidad a la derecha.

Ángulo de inclinación

Es el ángulo $\theta$ que forma la recta con el eje $X$ positivo, y cumple $m = \tan\theta$:

$$m = 2 \;\Rightarrow\; \theta = \tan^{-1}(2) \approx 63.43° \qquad\qquad m = -1 \;\Rightarrow\; \theta = 135°$$

Formas de la ecuación de la recta

Punto-pendiente

Si conoces un punto $(x_1,\, y_1)$ y la pendiente $m$:

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

Por $A(1,\, 3)$ con $m = 2$: $\;y - 3 = 2(x - 1) \Rightarrow y = 2x + 1$.

Dos puntos

Se calcula primero la pendiente y luego se usa la forma punto-pendiente con cualquiera de los dos puntos. Para $A(1,\, 3)$ y $B(4,\, 9)$ obtenemos la misma recta: $y = 2x + 1$.

Pendiente-ordenada al origen

$$y = mx + b$$

$m$ es la pendiente y $b$ es la ordenada al origen: el punto $(0,\, b)$ donde la recta corta al eje $Y$. En $y = 2x + 1$, la pendiente es 2 y corta al eje $Y$ en $(0,\, 1)$.

Simétrica (con intersecciones)

Si la recta corta al eje $X$ en $(a,\, 0)$ y al eje $Y$ en $(0,\, b)$:

$$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$$

General

$$Ax + By + C = 0$$

Desde la forma general se obtienen directamente:

$$m = -\frac{A}{B} \qquad\qquad b = -\frac{C}{B}$$

Ejemplo: para $2x - 3y - 6 = 0$: $m = -\dfrac{2}{-3} = \dfrac{2}{3}$ y $b = -\dfrac{-6}{-3} = -2$. En forma simétrica: $2x - 3y = 6 \Rightarrow \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{-2} = 1$, así que corta los ejes en $(3,\, 0)$ y $(0,\, -2)$.

• y = 2x + 1
• 2x − 3y − 6 = 0

Rectas horizontales y verticales

• Horizontal: $y = k$ (pendiente 0).
• Vertical: $x = h$ (pendiente no definida; no se puede escribir como $y = mx + b$).

Resumen

Comprueba lo aprendido

1. ¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por $(2,\,-3)$ y $(-1,\,6)$?Ver respuestaOcultar respuesta

$m = \dfrac{6 - (-3)}{-1 - 2} = \dfrac{9}{-3} = -3$.

2. Encuentra la ecuación de la recta con pendiente $-3$ que pasa por $(-2,\,5)$Ver respuestaOcultar respuesta

$y - 5 = -3(x + 2) \Rightarrow y = -3x - 1$, o en forma general $3x + y + 1 = 0$.

3. ¿Cuál es la pendiente y la ordenada al origen de $4x + 2y - 6 = 0$?Ver respuestaOcultar respuesta

$m = -\dfrac{4}{2} = -2$ y $b = -\dfrac{-6}{2} = 3$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de la recta

Referencias

• Lehmann, C. H. (1989). Geometría analítica. Limusa.
• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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