Álgebra de funciones: suma, producto, cociente, composición e inversa

Las funciones se pueden combinar para formar funciones nuevas: sumarlas, multiplicarlas, dividirlas o aplicar una dentro de la otra (composición). En esta clase verás cada operación y cómo encontrar la función inversa, que «deshace» lo que hace la función original.

Usaremos como ejemplo:

$$f(x) = x^2 - 1 \qquad\qquad g(x) = x + 1$$

Suma, resta, producto y cociente

Dominio: el de $f+g$, $f-g$ y $f\cdot g$ es la intersección de los dominios de $f$ y $g$. En el cociente, además, se quitan los valores donde $g(x) = 0$. Por eso, aunque $\frac{f}{g}$ se simplifique a $x - 1$, sigue sin estar definida en $x = -1$.

Composición de funciones

La composición $(f \circ g)(x) = f\big(g(x)\big)$ significa: primero aplica $g$ y al resultado aplícale $f$. Se sustituye $g(x)$ en lugar de cada $x$ de $f$.

$$(f \circ g)(x) = f(x+1) = (x+1)^2 - 1 = x^2 + 2x$$

$$(g \circ f)(x) = g(x^2 - 1) = (x^2 - 1) + 1 = x^2$$

Observa que $f \circ g \neq g \circ f$: el orden importa.

Con números: $(f \circ g)(2) = f(g(2)) = f(3) = 9 - 1 = 8$.

Dominio de la composición: si $f(x) = \sqrt{x}$ y $g(x) = x - 5$, entonces $(f\circ g)(x) = \sqrt{x - 5}$, cuyo dominio es $[5,\, \infty)$.

Función inversa

La inversa $f^{-1}$ hace el camino contrario a $f$: si $f(3) = 7$, entonces $f^{-1}(7) = 3$. Cumple

$$f\big(f^{-1}(x)\big) = x \qquad\text{y}\qquad f^{-1}\big(f(x)\big) = x$$

Cuidado: $f^{-1}(x)$ no significa $\dfrac{1}{f(x)}$.

¿Cuándo existe?

Solo las funciones uno a uno (inyectivas) tienen inversa: a valores distintos de $x$ les corresponden valores distintos de $y$. Gráficamente, ninguna recta horizontal corta la gráfica más de una vez. Por ejemplo, $f(x) = x^2$ no tiene inversa en todos los reales (porque $f(2) = f(-2)$), pero sí si se restringe a $x \ge 0$: su inversa es $\sqrt{x}$.

Cómo encontrarla

1. Escribe $y = f(x)$.
2. Despeja $x$ en términos de $y$.
3. Intercambia $x$ y $y$.

Ejemplo: $f(x) = 3x - 2$.

$$y = 3x - 2 \;\Rightarrow\; x = \frac{y + 2}{3} \;\Rightarrow\; f^{-1}(x) = \frac{x+2}{3}$$

Comprobación: $f\big(f^{-1}(x)\big) = 3\cdot\dfrac{x+2}{3} - 2 = x$ ✓

La gráfica de la inversa es el reflejo de la original respecto a la recta $y = x$:

• f(x) = 3x − 2
• f⁻¹(x) = (x + 2)/3
• y = x

El punto $(2,\, 4)$ está en $f$ y el punto $(4,\, 2)$ está en $f^{-1}$.

Comprueba lo aprendido

1. Si $f(x) = 2x + 1$ y $g(x) = x^2$, calcula $(f\circ g)(x)$ y $(g\circ f)(x)$Ver respuestaOcultar respuesta

$(f\circ g)(x) = 2x^2 + 1$ y $(g\circ f)(x) = (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$.

2. Encuentra la inversa de $f(x) = \frac{x - 4}{2}$Ver respuestaOcultar respuesta

$y = \dfrac{x-4}{2} \Rightarrow x = 2y + 4 \Rightarrow f^{-1}(x) = 2x + 4$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de funciones

Referencias

• Stewart, J., Redlin, L. y Watson, S. (2017). Precálculo: matemáticas para el cálculo (7.ª ed.). Cengage Learning.
• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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