Factorización de trinomios: cuadrado perfecto, x² + bx + c y ax² + bx + c

Los trinomios (polinomios de tres términos) son los que más aparecen en las ecuaciones de segundo grado. En esta clase verás cómo reconocer cada tipo y factorizarlo. Antes de empezar, recuerda sacar el factor común si lo hay (lo vimos en factorización de polinomios).

Trinomio cuadrado perfecto

Es el resultado de elevar un binomio al cuadrado: $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$.

Cómo reconocerlo:

1. El primer y el tercer término son cuadrados perfectos y positivos.
2. El término del medio es el doble del producto de sus raíces.

$$x^2 + 10x + 25:\quad \sqrt{x^2} = x,\;\; \sqrt{25} = 5,\;\; 2(x)(5) = 10x \;\checkmark \;\Rightarrow\; (x+5)^2$$

$$9a^2 - 12ab + 4b^2:\quad 3a \text{ y } 2b,\;\; 2(3a)(2b) = 12ab \;\checkmark \;\Rightarrow\; (3a - 2b)^2$$

El signo dentro del paréntesis es el signo del término central.

Trinomio de la forma x² + bx + c

Se buscan dos números que multiplicados den $c$ y sumados den $b$:

$$x^2 + bx + c = (x + m)(x + n) \qquad\text{con}\quad m\cdot n = c,\;\; m + n = b$$

Ejemplo: $x^2 - 5x - 14$. Buscamos dos números cuyo producto sea $-14$ y su suma $-5$: son $-7$ y $2$.

$$x^2 - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2)$$

Pistas con los signos:

Trinomio de la forma ax² + bx + c (con a ≠ 1)

El método más confiable es el de agrupación (también llamado método AC):

1. Multiplica $a\cdot c$.
2. Busca dos números que multiplicados den $a\cdot c$ y sumados den $b$.
3. Separa el término central usando esos dos números.
4. Factoriza por agrupación.

Ejemplo: $6x^2 + 7x - 3$. Aquí $a\cdot c = 6(-3) = -18$; los números son $9$ y $-2$ (producto $-18$, suma $7$).

$$\begin{aligned} 6x^2 + 7x - 3 &= 6x^2 + 9x - 2x - 3 \\ &= 3x(2x+3) - 1(2x+3) \\ &= (2x+3)(3x-1) \end{aligned}$$

Ejemplo: $2x^2 - 7x + 3$. $a\cdot c = 6$; los números son $-6$ y $-1$.

$$2x^2 - 6x - x + 3 = 2x(x-3) - 1(x-3) = (x-3)(2x-1)$$

Comprobación: multiplica los factores. $(2x+3)(3x-1) = 6x^2 - 2x + 9x - 3 = 6x^2 + 7x - 3$ ✓

Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

Algunos trinomios de cuarto grado casi son cuadrados perfectos. Se suma y resta lo que falta para completar el cuadrado y se obtiene una diferencia de cuadrados:

$$\begin{aligned} x^4 + x^2y^2 + y^4 &= (x^4 + 2x^2y^2 + y^4) - x^2y^2 \\ &= (x^2+y^2)^2 - (xy)^2 \\ &= (x^2 + y^2 - xy)(x^2 + y^2 + xy) \end{aligned}$$

Comprueba lo aprendido

1. Factoriza $x^2 - 14x + 49$Ver respuestaOcultar respuesta

Es trinomio cuadrado perfecto: $(x-7)^2$.

2. Factoriza $x^2 + 2x - 15$Ver respuestaOcultar respuesta

Números con producto $-15$ y suma $2$: $5$ y $-3$. Resultado: $(x+5)(x-3)$.

3. Factoriza $3x^2 + 5x + 2$Ver respuestaOcultar respuesta

$a\cdot c = 6$; números $3$ y $2$: $3x^2 + 3x + 2x + 2 = 3x(x+1) + 2(x+1) = (x+1)(3x+2)$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de productos notables y factorización

Referencias

• Baldor, A. (2007). Álgebra. Grupo Editorial Patria.
• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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