Ejercicios resueltos de la hipérbola

Ejercicios de la unidad 13 del curso de matemáticas: la hipérbola. Resuelve cada uno y después da clic en «Ver respuesta» para revisar el procedimiento.

1.- Encuentra los vértices, focos y asíntotas de $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$.

1. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Horizontal: $a = 3$, $b = 4$, $c = \sqrt{9 + 16} = 5$. Vértices $(\pm 3,\, 0)$, focos $(\pm 5,\, 0)$, asíntotas $y = \pm\dfrac{4}{3}x$.

2.- Los focos de $\dfrac{y^2}{25} - \dfrac{x^2}{144} = 1$ son:

• a) $(\pm 13,\, 0)$
• b) $(0,\, \pm 13)$
• c) $(0,\, \pm 5)$
• d) $(0,\, \pm 12)$

2. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

b) El término positivo es el de $y$: eje vertical con $a = 5$, $b = 12$ y $c = \sqrt{25 + 144} = 13$.

3.- ¿Cuál es la excentricidad de la hipérbola del ejercicio 1?

3. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{5}{3}$.

4.- ¿Cuánto mide el lado recto de la hipérbola del ejercicio 1?

4. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$LR = \dfrac{2b^2}{a} = \dfrac{2(16)}{3} = \dfrac{32}{3}$.

5.- Escribe la ecuación de la hipérbola con vértices $(\pm 2,\, 0)$ y focos $(\pm 3,\, 0)$.

5. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$a = 2$, $c = 3$, $b^2 = 9 - 4 = 5$: $\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{5} = 1$.

6.- Las asíntotas de $4x^2 - 9y^2 = 36$ son:

• a) $y = \pm\dfrac{3}{2}x$
• b) $y = \pm\dfrac{2}{3}x$
• c) $y = \pm\dfrac{4}{9}x$
• d) $y = \pm 2x$

6. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

b) Dividiendo entre 36: $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{4} = 1$, con $a = 3$ y $b = 2$. Asíntotas: $y = \pm\dfrac{b}{a}x = \pm\dfrac{2}{3}x$.

7.- Escribe la ecuación de la hipérbola con vértices $(0,\, \pm 4)$ y asíntotas $y = \pm 2x$.

7. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Eje vertical con $a = 4$. Las asíntotas son $y = \pm\dfrac{a}{b}x$, así que $\dfrac{4}{b} = 2 \Rightarrow b = 2$:

$$\frac{y^2}{16} - \frac{x^2}{4} = 1$$

8.- Encuentra el centro y los semiejes de $x^2 - 4y^2 - 2x - 16y - 19 = 0$.

8. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$$(x^2 - 2x + 1) - 4(y^2 + 4y + 4) = 19 + 1 - 16 \Rightarrow (x-1)^2 - 4(y+2)^2 = 4 \Rightarrow \frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y+2)^2}{1} = 1$$

Centro $(1,\, -2)$, eje horizontal, $a = 2$, $b = 1$.

9.- ¿Cuáles son las asíntotas y la excentricidad de $x^2 - y^2 = 9$?

9. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Es equilátera ($a = b = 3$): asíntotas $y = \pm x$; $c = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$, así que $e = \sqrt{2}$.

10.- ¿Qué cónica representa $16x^2 - 9y^2 = 144$?

• a) Elipse horizontal
• b) Hipérbola horizontal
• c) Hipérbola vertical
• d) Parábola

10. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

b) Los coeficientes tienen signos contrarios (hipérbola) y el término positivo es el de $x$: $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$.

Si tuviste dudas, repasa la clase:

La hipérbola

Referencias

• Lehmann, C. H. (1989). Geometría analítica. Limusa.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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