Círculo unitario: funciones trigonométricas en cualquier cuadrante

En un triángulo rectángulo, los ángulos agudos miden menos de 90°. Pero ¿cuánto vale $\sin 150°$ o $\cos 240°$? Para extender las funciones trigonométricas a cualquier ángulo se usa el círculo unitario.

El círculo unitario

Es una circunferencia de radio 1 con centro en el origen. Si un ángulo $\theta$ se mide desde el eje $X$ positivo, su lado final corta al círculo en un punto $P(x,\, y)$, y se define:

$$\cos\theta = x \qquad\quad \sin\theta = y \qquad\quad \tan\theta = \frac{y}{x}$$

Es decir, el coseno es la coordenada horizontal y el seno la vertical.

Signos en cada cuadrante

Una regla para recordarlo: en el I son todas positivas, en el II el seno, en el III la tangente y en el IV el coseno.

Ángulos cuadrantales

Son los que caen sobre los ejes. Se leen directamente del círculo:

Ángulo de referencia

Es el ángulo agudo que forma el lado final con el eje $X$. Para calcular una función de cualquier ángulo:

1. Ubica el cuadrante.
2. Calcula el ángulo de referencia $\theta_r$.
3. Calcula la función para $\theta_r$ (con la tabla de ángulos notables).
4. Pon el signo que le corresponde en ese cuadrante.

Ejemplos:

$$\sin 150° = +\sin 30° = \frac{1}{2} \qquad (\text{II: el seno es positivo})$$

$$\cos 210° = -\cos 30° = -\frac{\sqrt{3}}{2} \qquad (\text{III: el coseno es negativo})$$

$$\tan 300° = -\tan 60° = -\sqrt{3} \qquad (\text{IV: la tangente es negativa})$$

Ángulos negativos y mayores que 360°

• Los ángulos coterminales comparten lado final y tienen los mismos valores: $\sin 390° = \sin(390° - 360°) = \sin 30° = \frac{1}{2}$.
• Para ángulos negativos: $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ y $\cos(-\theta) = \cos\theta$. Por ejemplo, $\sin(-45°) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Encontrar las demás funciones a partir de una

Ejemplo: si $\sin\theta = \dfrac{3}{5}$ y $\theta$ está en el cuadrante II, ¿cuánto valen $\cos\theta$ y $\tan\theta$?

Con la identidad $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$:

$$\cos^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \;\Rightarrow\; \cos\theta = -\frac{4}{5} \quad (\text{negativo en el II})$$

$$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$$

Comprueba lo aprendido

1. ¿Cuánto vale $\cos 120°$?Ver respuestaOcultar respuesta

Cuadrante II, ángulo de referencia 60°: $\cos 120° = -\cos 60° = -\dfrac{1}{2}$.

2. ¿Cuánto vale $\tan 315°$?Ver respuestaOcultar respuesta

Cuadrante IV, referencia 45°: $\tan 315° = -\tan 45° = -1$.

3. ¿Qué signo tiene $\sin 200°$?Ver respuestaOcultar respuesta

Negativo, porque 200° está en el cuadrante III.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de trigonometría

Referencias

• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Stewart, J., Redlin, L. y Watson, S. (2017). Precálculo: matemáticas para el cálculo (7.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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