Continuidad de una función en un punto y en un intervalo

De manera intuitiva, una función es continua si puedes dibujar su gráfica sin levantar el lápiz: no tiene huecos, saltos ni asíntotas. La continuidad se define con límites y es una condición necesaria para que una función sea derivable.

Continuidad en un punto

Una función $f$ es continua en $x = a$ si se cumplen las tres condiciones:

1. $f(a)$ está definida.
2. $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)$ existe (los límites laterales son iguales).
3. $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$.

Si falla cualquiera, la función es discontinua en $a$.

Ejemplo:

$$f(x) = \begin{cases} x + 1 & x < 2 \\ 3x - 3 & x \ge 2 \end{cases}$$

1. $f(2) = 3(2) - 3 = 3$ ✓
2. $\lim_{x\to 2^-} f(x) = 3$ y $\lim_{x\to 2^+} f(x) = 3$, así que el límite es 3 ✓
3. $\lim_{x\to 2} f(x) = f(2) = 3$ ✓

La función es continua en $x = 2$.

Tipos de discontinuidad

La discontinuidad evitable se puede «reparar» definiendo $f(a)$ igual al límite. Para $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$, como el límite en 2 es 4, basta definir $f(2) = 4$.

• evitable: (x² − 4)/(x − 2)
• infinita: 1/(x − 3) − 3

Hallar un valor para que la función sea continua

Ejemplo: ¿qué valor de $k$ hace continua a $f(x) = \begin{cases} kx + 1 & x < 1 \\ x^2 + 3 & x \ge 1 \end{cases}$?

Los límites laterales en $x = 1$ deben ser iguales:

$$k(1) + 1 = 1^2 + 3 \;\Rightarrow\; k + 1 = 4 \;\Rightarrow\; k = 3$$

Continuidad en un intervalo

• Una función es continua en un intervalo abierto $(a,\, b)$ si es continua en cada punto del intervalo.
• En un intervalo cerrado $[a,\, b]$, además debe ser continua por la derecha en $a$ y por la izquierda en $b$.

Funciones continuas en todo su dominio: polinomios, funciones racionales (excepto donde se anula el denominador), raíces (en su dominio), exponenciales, logarítmicas (para $x > 0$), seno y coseno.

Teorema del valor intermedio: si $f$ es continua en $[a,\, b]$ y $f(a)$ y $f(b)$ tienen signos contrarios, hay al menos un $c$ entre $a$ y $b$ con $f(c) = 0$. Así se garantiza que un polinomio tiene una raíz en un intervalo.

Comprueba lo aprendido

1. ¿Es continua $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ en $x = 2$?Ver respuestaOcultar respuesta

No: $f(2)$ no está definida. Es una discontinuidad evitable, porque el límite existe y vale 4.

2. ¿Qué valor de $k$ hace continua $f(x) = 2x + k$ para $x < 3$ y $f(x) = x^2 - 1$ para $x \ge 3$?Ver respuestaOcultar respuesta

$6 + k = 9 - 1 \Rightarrow k = 2$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de límites

Referencias

• Stewart, J. (2018). Cálculo de una variable: trascendentes tempranas (8.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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