Ejercicios resueltos de límites y continuidad

Ejercicios de la unidad 15 del curso de matemáticas: límites y continuidad. Resuelve cada uno y después da clic en «Ver respuesta» para revisar el procedimiento.

Límites por sustitución

1.- Calcula $\displaystyle\lim_{x\to -1}(2x^3 - x + 4)$

1. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$2(-1)^3 - (-1) + 4 = -2 + 1 + 4 = 3$.

2.- El valor de $\displaystyle\lim_{x\to 4}\sqrt{2x + 1}$ es:

• a) $9$
• b) $3$
• c) $\sqrt{8}$
• d) No existe

2. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

b) $\sqrt{2(4) + 1} = \sqrt{9} = 3$.

Forma indeterminada 0/0

3.- Calcula $\displaystyle\lim_{x\to 5}\frac{x^2 - 25}{x - 5}$

3. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$\displaystyle\lim_{x\to 5}\frac{(x-5)(x+5)}{x-5} = \lim_{x\to 5}(x + 5) = 10$.

4.- Calcula $\displaystyle\lim_{x\to -3}\frac{x^2 + 5x + 6}{x + 3}$

4. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$\displaystyle\lim_{x\to -3}\frac{(x+3)(x+2)}{x+3} = \lim_{x\to -3}(x + 2) = -1$.

5.- El valor de $\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^3 - 8}{x - 2}$ es:

• a) $0$
• b) $4$
• c) $8$
• d) $12$

5. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

d) $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$, así que el límite es $4 + 4 + 4 = 12$.

6.- Calcula $\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^2 + x - 2}{x^2 - 1}$

6. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{(x+2)(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{3}{2}$.

7.- Calcula $\displaystyle\lim_{x\to 9}\frac{\sqrt{x} - 3}{x - 9}$

7. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Como $x - 9 = (\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)$: $\displaystyle\lim_{x\to 9}\frac{1}{\sqrt{x} + 3} = \frac{1}{6}$.

8.- Calcula $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}$

8. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Multiplicando por el conjugado:

$$\lim_{x\to 0}\frac{(1 + x) - 1}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{1+x} + 1} = \frac{1}{2}$$

9.- Calcula $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{(2+h)^2 - 4}{h}$

9. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{4 + 4h + h^2 - 4}{h} = \lim_{h\to 0}(4 + h) = 4$. (Es la derivada de $x^2$ en $x = 2$).

Límites al infinito y trigonométricos

10.- Calcula $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{4x^3 - x}{2x^3 + 5}$

10. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Mismo grado: cociente de coeficientes principales, $\dfrac{4}{2} = 2$.

11.- El valor de $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{5x + 3}{x^2 - 1}$ es:

• a) $5$
• b) $0$
• c) $\infty$
• d) $-3$

11. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

b) El grado del numerador es menor que el del denominador.

12.- Calcula $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{9x^2 + 1}}{x + 2}$

12. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Dividiendo entre $x$ (con $x > 0$, $\sqrt{x^2} = x$):

$$\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{9 + \frac{1}{x^2}}}{1 + \frac{2}{x}} = \frac{\sqrt{9}}{1} = 3$$

13.- Calcula $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{x}$

13. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$\displaystyle 3\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{3x} = 3(1) = 3$.

14.- ¿Existe $\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{1}{x - 2}$?

14. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

No. Por la izquierda tiende a $-\infty$ y por la derecha a $+\infty$.

15.- ¿Cuáles son las asíntotas de $f(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 - 9}$?

15. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Verticales: $x = 3$ y $x = -3$ (anulan el denominador y no el numerador). Horizontal: $y = 0$ (el grado del numerador es menor).

Continuidad

16.- ¿Es continua $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ en $x = 2$?

16. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

No, porque $f(2)$ no está definida. Es una discontinuidad evitable (el límite vale 4); se repara definiendo $f(2) = 4$.

17.- ¿Qué valor de $k$ hace continua a $f(x) = \begin{cases} 2x + k & x < 3 \\ x^2 - 1 & x \ge 3 \end{cases}$?

• a) $k = 2$
• b) $k = 8$
• c) $k = -2$
• d) $k = 6$

17. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

a) En $x = 3$: $6 + k = 9 - 1 \Rightarrow k = 2$.

18.- ¿En qué puntos es discontinua $f(x) = \dfrac{x}{x^2 - 5x + 6}$?

18. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Donde se anula el denominador: $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0$, es decir, en $x = 2$ y $x = 3$ (ambas discontinuidades infinitas).

Si tuviste dudas, repasa las clases de esta unidad:

Concepto de límite

Límites indeterminados

Continuidad

Referencias

• Stewart, J. (2018). Cálculo de una variable: trascendentes tempranas (8.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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