Ejercicios de la unidad 16 del curso de matemáticas, primera parte: cálculo de derivadas. Resuelve cada uno y después da clic en «Ver respuesta» para revisar el procedimiento.
Definición y reglas básicas
1.- Deriva f ( x ) = x 2 − 3 x f(x) = x^2 - 3x f ( x ) = x 2 − 3 x
1. Respuesta Ver respuesta Ocultar respuesta f ′ ( x ) = lim h → 0 ( x + h ) 2 − 3 ( x + h ) − ( x 2 − 3 x ) h = lim h → 0 2 x h + h 2 − 3 h h = lim h → 0 ( 2 x + h − 3 ) = 2 x − 3 \begin{aligned}
f'(x) &= \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2 - 3(x+h) - (x^2 - 3x)}{h} \\
&= \lim_{h\to 0}\frac{2xh + h^2 - 3h}{h} = \lim_{h\to 0}(2x + h - 3) = 2x - 3
\end{aligned} f ′ ( x ) = h → 0 lim h ( x + h ) 2 − 3 ( x + h ) − ( x 2 − 3 x ) = h → 0 lim h 2 x h + h 2 − 3 h = h → 0 lim ( 2 x + h − 3 ) = 2 x − 3 2.- La derivada de f ( x ) = 7 f(x) = 7 f ( x ) = 7
a) 7 7 7
b) 7 x 7x 7 x
c) 0 0 0
d) 1 1 1
2. Respuesta Ver respuesta Ocultar respuesta c) La derivada de una constante es cero.
3.- Deriva f ( x ) = 3 x 4 − 5 x 3 + 2 x − 9 f(x) = 3x^4 - 5x^3 + 2x - 9 f ( x ) = 3 x 4 − 5 x 3 + 2 x − 9
3. Respuesta Ver respuesta Ocultar respuesta f ′ ( x ) = 12 x 3 − 15 x 2 + 2 f'(x) = 12x^3 - 15x^2 + 2 f ′ ( x ) = 12 x 3 − 15 x 2 + 2
4.- Deriva f ( x ) = 4 x 3 f(x) = \dfrac{4}{x^3} f ( x ) = x 3 4
4. Respuesta Ver respuesta Ocultar respuesta f ( x ) = 4 x − 3 ⇒ f ′ ( x ) = − 12 x − 4 = − 12 x 4 f(x) = 4x^{-3} \Rightarrow f'(x) = -12x^{-4} = -\dfrac{12}{x^4} f ( x ) = 4 x − 3 ⇒ f ′ ( x ) = − 12 x − 4 = − x 4 12
5.- Deriva f ( x ) = x 3 f(x) = \sqrt[3]{x} f ( x ) = 3 x
5. Respuesta Ver respuesta Ocultar respuesta f ( x ) = x 1 / 3 ⇒ f ′ ( x ) = 1 3 x − 2 / 3 = 1 3 x 2 3 f(x) = x^{1/3} \Rightarrow f'(x) = \dfrac{1}{3}x^{-2/3} = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} f ( x ) = x 1/3 ⇒ f ′ ( x ) = 3 1 x − 2/3 = 3 3 x 2 1
Producto y cociente
6.- Deriva f ( x ) = ( x 3 − 2 ) ( x 2 + 1 ) f(x) = (x^3 - 2)(x^2 + 1) f ( x ) = ( x 3 − 2 ) ( x 2 + 1 )
6. Respuesta Ver respuesta Ocultar respuesta f ′ ( x ) = 3 x 2 ( x 2 + 1 ) + ( x 3 − 2 ) ( 2 x ) = 3 x 4 + 3 x 2 + 2 x 4 − 4 x = 5 x 4 + 3 x 2 − 4 x f'(x) = 3x^2(x^2 + 1) + (x^3 - 2)(2x) = 3x^4 + 3x^2 + 2x^4 - 4x = 5x^4 + 3x^2 - 4x f ′ ( x ) = 3 x 2 ( x 2 + 1 ) + ( x 3 − 2 ) ( 2 x ) = 3 x 4 + 3 x 2 + 2 x 4 − 4 x = 5 x 4 + 3 x 2 − 4 x
7.- La derivada de f ( x ) = x 2 + 1 x − 1 f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1} f ( x ) = x − 1 x 2 + 1
a) 2 x 1 \dfrac{2x}{1} 1 2 x
b) x 2 − 2 x − 1 ( x − 1 ) 2 \dfrac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2} ( x − 1 ) 2 x 2 − 2 x − 1
c) x 2 + 2 x + 1 ( x − 1 ) 2 \dfrac{x^2 + 2x + 1}{(x-1)^2} ( x − 1 ) 2 x 2 + 2 x + 1
d) 3 x 2 − 2 x + 1 ( x − 1 ) 2 \dfrac{3x^2 - 2x + 1}{(x-1)^2} ( x − 1 ) 2 3 x 2 − 2 x + 1
7. Respuesta Ver respuesta Ocultar respuesta b) 2 x ( x − 1 ) − ( x 2 + 1 ) ( 1 ) ( x − 1 ) 2 = 2 x 2 − 2 x − x 2 − 1 ( x − 1 ) 2 = x 2 − 2 x − 1 ( x − 1 ) 2 \dfrac{2x(x - 1) - (x^2 + 1)(1)}{(x-1)^2} = \dfrac{2x^2 - 2x - x^2 - 1}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2} ( x − 1 ) 2 2 x ( x − 1 ) − ( x 2 + 1 ) ( 1 ) = ( x − 1 ) 2 2 x 2 − 2 x − x 2 − 1 = ( x − 1 ) 2 x 2 − 2 x − 1
Trigonométricas, exponenciales y logarítmicas
8.- Deriva f ( x ) = sin x + cos x f(x) = \sin x + \cos x f ( x ) = sin x + cos x
8. Respuesta Ver respuesta Ocultar respuesta f ′ ( x ) = cos x − sin x f'(x) = \cos x - \sin x f ′ ( x ) = cos x − sin x
9.- Deriva f ( x ) = x cos x f(x) = x\cos x f ( x ) = x cos x
9. Respuesta Ver respuesta Ocultar respuesta Regla del producto: f ′ ( x ) = cos x − x sin x f'(x) = \cos x - x\sin x f ′ ( x ) = cos x − x sin x
10.- Deriva f ( x ) = 3 e x − 2 ln x f(x) = 3e^x - 2\ln x f ( x ) = 3 e x − 2 ln x
10. Respuesta Ver respuesta Ocultar respuesta f ′ ( x ) = 3 e x − 2 x f'(x) = 3e^x - \dfrac{2}{x} f ′ ( x ) = 3 e x − x 2
11.- La derivada de f ( x ) = x 2 e x f(x) = x^2 e^x f ( x ) = x 2 e x
a) 2 x e x 2xe^x 2 x e x
b) x 2 e x x^2e^x x 2 e x
c) x e x ( x + 2 ) xe^x(x + 2) x e x ( x + 2 )
d) 2 x + e x 2x + e^x 2 x + e x
11. Respuesta Ver respuesta Ocultar respuesta c) 2 x e x + x 2 e x = x e x ( 2 + x ) 2xe^x + x^2e^x = xe^x(2 + x) 2 x e x + x 2 e x = x e x ( 2 + x )
Regla de la cadena
12.- Deriva f ( x ) = ( 2 x − 5 ) 4 f(x) = (2x - 5)^4 f ( x ) = ( 2 x − 5 ) 4
12. Respuesta Ver respuesta Ocultar respuesta f ′ ( x ) = 4 ( 2 x − 5 ) 3 ⋅ 2 = 8 ( 2 x − 5 ) 3 f'(x) = 4(2x - 5)^3\cdot 2 = 8(2x - 5)^3 f ′ ( x ) = 4 ( 2 x − 5 ) 3 ⋅ 2 = 8 ( 2 x − 5 ) 3
13.- Deriva f ( x ) = x 2 + 9 f(x) = \sqrt{x^2 + 9} f ( x ) = x 2 + 9
13. Respuesta Ver respuesta Ocultar respuesta f ′ ( x ) = 1 2 x 2 + 9 ⋅ 2 x = x x 2 + 9 f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x^2 + 9}}\cdot 2x = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} f ′ ( x ) = 2 x 2 + 9 1 ⋅ 2 x = x 2 + 9 x
14.- Deriva f ( x ) = sin ( 3 x 2 ) f(x) = \sin(3x^2) f ( x ) = sin ( 3 x 2 )
14. Respuesta Ver respuesta Ocultar respuesta f ′ ( x ) = cos ( 3 x 2 ) ⋅ 6 x = 6 x cos ( 3 x 2 ) f'(x) = \cos(3x^2)\cdot 6x = 6x\cos(3x^2) f ′ ( x ) = cos ( 3 x 2 ) ⋅ 6 x = 6 x cos ( 3 x 2 )
15.- La derivada de f ( x ) = cos 3 x f(x) = \cos^3 x f ( x ) = cos 3 x
a) 3 cos 2 x 3\cos^2 x 3 cos 2 x
b) − 3 cos 2 x -3\cos^2 x − 3 cos 2 x
c) − 3 sin x cos 2 x -3\sin x\cos^2 x − 3 sin x cos 2 x
d) 3 sin 2 x 3\sin^2 x 3 sin 2 x
15. Respuesta Ver respuesta Ocultar respuesta c) 3 cos 2 x ⋅ ( − sin x ) = − 3 sin x cos 2 x 3\cos^2 x\cdot(-\sin x) = -3\sin x\cos^2 x 3 cos 2 x ⋅ ( − sin x ) = − 3 sin x cos 2 x
16.- Deriva f ( x ) = e − 2 x f(x) = e^{-2x} f ( x ) = e − 2 x
16. Respuesta Ver respuesta Ocultar respuesta f ′ ( x ) = − 2 e − 2 x f'(x) = -2e^{-2x} f ′ ( x ) = − 2 e − 2 x
17.- Deriva f ( x ) = ln ( 5 x + 1 ) f(x) = \ln(5x + 1) f ( x ) = ln ( 5 x + 1 )
17. Respuesta Ver respuesta Ocultar respuesta f ′ ( x ) = 5 5 x + 1 f'(x) = \dfrac{5}{5x + 1} f ′ ( x ) = 5 x + 1 5
Implícitas y sucesivas
18.- Si x 2 + y 2 = 25 x^2 + y^2 = 25 x 2 + y 2 = 25 d y d x \dfrac{dy}{dx} d x d y ( 3 , 4 ) (3,\, 4) ( 3 , 4 )
18. Respuesta Ver respuesta Ocultar respuesta 2 x + 2 y y ′ = 0 ⇒ y ′ = − x y = − 3 4 2x + 2yy' = 0 \Rightarrow y' = -\dfrac{x}{y} = -\dfrac{3}{4} 2 x + 2 y y ′ = 0 ⇒ y ′ = − y x = − 4 3
19.- Si x y = 6 xy = 6 x y = 6 y ′ y' y ′
19. Respuesta Ver respuesta Ocultar respuesta y + x y ′ = 0 ⇒ y ′ = − y x y + xy' = 0 \Rightarrow y' = -\dfrac{y}{x} y + x y ′ = 0 ⇒ y ′ = − x y
20.- Calcula la segunda derivada de f ( x ) = 2 x 3 − x 2 + 4 f(x) = 2x^3 - x^2 + 4 f ( x ) = 2 x 3 − x 2 + 4
20. Respuesta Ver respuesta Ocultar respuesta f ′ ( x ) = 6 x 2 − 2 x f'(x) = 6x^2 - 2x f ′ ( x ) = 6 x 2 − 2 x f ′ ′ ( x ) = 12 x − 2 f''(x) = 12x - 2 f ′′ ( x ) = 12 x − 2
Si tuviste dudas, repasa las clases de esta unidad:
Reglas de derivación
Derivadas trigonométricas, exponenciales y logarítmicas
Regla de la cadena
Referencias
Stewart, J. (2018). Cálculo de una variable: trascendentes tempranas (8.ª ed.). Cengage Learning.
Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad . Pearson Educación (temario de referencia).
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