Números imaginarios y complejos: operaciones y potencias de i

¿Cuánto vale $\sqrt{-9}$? Ningún número real elevado al cuadrado da un resultado negativo, así que para resolver estas raíces se inventó un nuevo tipo de número: los imaginarios. Al combinarlos con los reales obtenemos los números complejos, que son indispensables en ecuaciones de segundo grado, electricidad y física.

La unidad imaginaria

Se define la unidad imaginaria $i$ como el número que cumple:

$$i = \sqrt{-1} \qquad\Longleftrightarrow\qquad i^2 = -1$$

Con ella, la raíz cuadrada de cualquier número negativo se puede escribir así:

$$\sqrt{-a} = \sqrt{a}\,\sqrt{-1} = \sqrt{a}\; i \qquad (a > 0)$$

$$\sqrt{-16} = 4i \qquad\quad \sqrt{-7} = \sqrt{7}\,i \qquad\quad \sqrt{-12} = \sqrt{4\cdot 3}\,i = 2\sqrt{3}\,i$$

Un número de la forma $bi$, con $b$ real, se llama número imaginario puro.

Cuidado: la regla $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ no vale cuando ambos radicandos son negativos. Por ejemplo, $\sqrt{-4}\cdot\sqrt{-9} = (2i)(3i) = 6i^2 = -6$, y no $\sqrt{36} = 6$. Siempre convierte primero a la forma con $i$.

Potencias de i

Las potencias de $i$ se repiten cada cuatro:

Para calcular $i^n$, divide $n$ entre 4 y usa el residuo:

$$i^{23}: \quad 23 = 4\cdot 5 + 3 \;\Rightarrow\; i^{23} = i^{3} = -i$$

$$i^{42}: \quad 42 = 4\cdot 10 + 2 \;\Rightarrow\; i^{42} = i^{2} = -1$$

Si el residuo es 0, el resultado es 1: $i^{100} = 1$.

Números complejos

Un número complejo tiene la forma

$$z = a + bi$$

donde $a$ es la parte real y $b$ la parte imaginaria. Si $b = 0$, el número es real; si $a = 0$, es imaginario puro. Por eso los reales y los imaginarios son casos particulares de los complejos.

Representación en el plano complejo

Cada complejo $a+bi$ se representa como el punto $(a, b)$: la parte real en el eje horizontal y la imaginaria en el vertical.

El módulo de $z$ es su distancia al origen:

$$|a+bi| = \sqrt{a^2+b^2} \qquad\quad |3+4i| = \sqrt{9+16} = 5$$

El conjugado de $z = a+bi$ es $\bar z = a - bi$ (se cambia el signo de la parte imaginaria).

Operaciones con complejos

Suma y resta

Se suman o restan por separado las partes reales y las imaginarias:

$$(3+2i) + (1-5i) = 4 - 3i \qquad\quad (6 - i) - (2 + 4i) = 4 - 5i$$

Multiplicación

Se multiplica como binomios y se sustituye $i^2 = -1$:

$$(2+3i)(4-i) = 8 - 2i + 12i - 3i^2 = 8 + 10i + 3 = 11 + 10i$$

Un caso útil: un complejo por su conjugado siempre da un número real.

$$(a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2 \qquad\quad (3+2i)(3-2i) = 9 + 4 = 13$$

División

Se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador:

$$\frac{3+i}{1-i} = \frac{(3+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{3 + 3i + i + i^2}{1+1} = \frac{2+4i}{2} = 1 + 2i$$

Comprueba lo aprendido

1. ¿Cuánto vale $i^{10}$?Ver respuestaOcultar respuesta

$10 = 4\cdot 2 + 2$, así que $i^{10} = i^2 = -1$.

2. Calcula $(1+i)^2$Ver respuestaOcultar respuesta

$(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$.

3. Calcula $(5-2i)-(3+4i)$Ver respuestaOcultar respuesta

$(5-3) + (-2-4)i = 2 - 6i$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos: exponentes, radicales, complejos y polinomios

Referencias

• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Baldor, A. (2007). Álgebra. Grupo Editorial Patria.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

Ver Libro