Leyes de los exponentes: potencias y exponentes negativos y fraccionarios

Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación repetida: $2^5 = 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2 = 32$. Las leyes de los exponentes permiten simplificar expresiones con potencias sin tener que desarrollarlas. Las usarás en álgebra, en notación científica y, más adelante, en derivadas e integrales.

Elementos de una potencia

$$a^n = \underbrace{a\cdot a \cdot a \cdots a}_{n \text{ veces}}$$

• $a$ es la base: el número que se multiplica.
• $n$ es el exponente: cuántas veces se multiplica.

Signo de la base: una base negativa elevada a exponente par da un resultado positivo, y a exponente impar, negativo: $(-2)^4 = 16$, pero $(-2)^3 = -8$. Ojo: $-2^4 = -(2^4) = -16$, porque el exponente solo afecta al 2.

Las leyes de los exponentes

Ejemplos resueltos

1. Producto de monomios. Se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de cada letra:

$$(2x^3y)(5x^4y^2) = 10\,x^{3+4}\,y^{1+2} = 10x^7y^3$$

2. Potencia de un producto. El exponente afecta a cada factor, incluido el coeficiente:

$$(3a^2b)^3 = 3^3\,a^{2\cdot3}\,b^3 = 27a^6b^3$$

3. Cociente con resultado negativo. El exponente negativo se pasa al denominador con signo positivo:

$$\frac{x^5}{x^8} = x^{5-8} = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$$

4. Exponente negativo en una fracción. Se invierte la fracción y el exponente cambia de signo:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4}$$

5. Exponente fraccionario. Conviene sacar primero la raíz para trabajar con números pequeños:

$$16^{3/4} = \left(\sqrt[4]{16}\right)^3 = 2^3 = 8 \qquad\quad 25^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5}$$

6. Expresión combinada. Simplifica $\dfrac{(2x^2y^{-1})^3}{4x^4y^{-5}}$:

$$\frac{8x^6y^{-3}}{4x^4y^{-5}} = 2\,x^{6-4}\,y^{-3-(-5)} = 2x^2y^2$$

Errores frecuentes

• $a^m + a^n \neq a^{m+n}$. Las leyes son para productos, no para sumas: $2^2 + 2^3 = 4 + 8 = 12$, mientras que $2^5 = 32$.
• $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$. El cuadrado de una suma se desarrolla con productos notables: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
• $a^{-n}$ no es negativo: $2^{-3} = \frac{1}{8}$, que es positivo.

Comprueba lo aprendido

1. ¿Cuánto vale $2^{-3}\cdot 2^{5}$?Ver respuestaOcultar respuesta

$2^{-3+5} = 2^2 = 4$.

2. Simplifica $(x^2)^3\cdot x$Ver respuestaOcultar respuesta

$x^{6}\cdot x^{1} = x^{7}$.

3. ¿Cuánto vale $27^{2/3}$?Ver respuestaOcultar respuesta

$\left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos: exponentes, radicales, complejos y polinomios

Referencias

• Baldor, A. (2007). Álgebra. Grupo Editorial Patria.
• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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