Sistemas de ecuaciones 2×2: métodos de solución

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que deben cumplirse al mismo tiempo. Si dos cafés y tres panes cuestan $95, y un café y dos panes $55, ¿cuánto cuesta cada cosa? Con una sola ecuación no se puede saber; con dos, sí. En esta clase verás los cinco métodos para resolver sistemas de $2\times 2$ (dos ecuaciones con dos incógnitas).

Interpretación gráfica

Cada ecuación lineal con dos incógnitas representa una recta. La solución del sistema es el punto donde las rectas se cruzan, porque ese punto pertenece a ambas.

$$\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ x - y = 1 \end{cases}$$

• 2x + 3y = 12
• x − y = 1

Tipos de sistemas

Método 1: reducción (suma y resta)

Se multiplican las ecuaciones por números adecuados para que, al sumarlas, se elimine una incógnita.

$$\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ 5x - 2y = 8 \end{cases}$$

Los términos en $y$ ya tienen coeficientes opuestos; al sumar: $8x = 16 \Rightarrow x = 2$. Sustituyendo en la primera: $6 + 2y = 8 \Rightarrow y = 1$.

Solución: $(2,\, 1)$.

Método 2: sustitución

Se despeja una incógnita de una ecuación y se sustituye en la otra. Conviene despejar la que tenga coeficiente 1.

$$\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ x - y = 1 \end{cases}$$

De la segunda, $x = y + 1$. En la primera:

$$2(y+1) + 3y = 12 \Rightarrow 5y + 2 = 12 \Rightarrow y = 2, \qquad x = 2 + 1 = 3$$

Solución: $(3,\, 2)$.

Método 3: igualación

Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan las expresiones.

$$\begin{cases} y = 2x - 1 \\ y = -x + 5 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad 2x - 1 = -x + 5 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2,\;\; y = 3$$

Método 4: determinantes (regla de Cramer)

Para el sistema $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ se calculan tres determinantes de $2\times2$:

$$\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1b_2 - a_2b_1 \qquad \Delta_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} \qquad \Delta_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}$$

$$x = \frac{\Delta_x}{\Delta} \qquad\qquad y = \frac{\Delta_y}{\Delta}$$

Para $2x + 3y = 12$ y $x - y = 1$:

$$\Delta = (2)(-1) - (1)(3) = -5 \qquad \Delta_x = (12)(-1) - (1)(3) = -15 \qquad \Delta_y = (2)(1) - (1)(12) = -10$$

$$x = \frac{-15}{-5} = 3 \qquad\qquad y = \frac{-10}{-5} = 2$$

Si $\Delta = 0$, el sistema no tiene solución única: es incompatible o indeterminado.

Método 5: gráfico

Se grafican ambas rectas y se lee el punto de intersección, como en la gráfica del inicio. Es útil para visualizar, pero poco preciso cuando la solución no es un número entero.

Un problema resuelto

Dos cafés y tres panes cuestan $95; un café y dos panes cuestan $55. ¿Cuánto cuesta cada uno?

$$\begin{cases} 2c + 3p = 95 \\ c + 2p = 55 \end{cases}$$

De la segunda, $c = 55 - 2p$. Sustituyendo: $2(55 - 2p) + 3p = 95 \Rightarrow 110 - p = 95 \Rightarrow p = 15$, y $c = 55 - 30 = 25$.

El café cuesta $25 y el pan $15.

Comprueba lo aprendido

1. Resuelve $x + y = 7$, $x - y = 3$Ver respuestaOcultar respuesta

Sumando: $2x = 10 \Rightarrow x = 5$, $y = 2$.

2. ¿Qué tipo de sistema es $y = 2x + 1$, $y = 2x - 4$?Ver respuestaOcultar respuesta

Incompatible: las rectas tienen la misma pendiente y distinta ordenada, son paralelas y no se cortan.

3. Calcula $\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix}$Ver respuestaOcultar respuesta

$(3)(5) - (4)(-2) = 15 + 8 = 23$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones

Referencias

• Baldor, A. (2007). Álgebra. Grupo Editorial Patria.
• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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