Integral definida y área bajo una curva

La integral definida resuelve un problema antiguo: calcular el área de una región con bordes curvos. La idea es dividirla en muchos rectángulos muy delgados y sumar sus áreas; el límite de esa suma es la integral definida. Por suerte, el teorema fundamental del cálculo permite calcularla con antiderivadas, sin sumar rectángulos.

Definición

La integral definida de $f$ desde $a$ hasta $b$ se escribe

$$\int_a^b f(x)\,dx$$

$a$ es el límite inferior y $b$ el límite superior. A diferencia de la indefinida, el resultado es un número, no una función.

Teorema fundamental del cálculo

Si $F$ es una antiderivada de $f$ (es decir, $F' = f$) y $f$ es continua en $[a,\, b]$:

$$\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)$$

La constante $C$ no se escribe, porque se cancela al restar.

Ejemplos

$$\int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$$

$$\int_1^3 (2x + 1)\,dx = \Big[x^2 + x\Big]_1^3 = (9 + 3) - (1 + 1) = 10$$

$$\int_0^{\pi} \sin x\,dx = \Big[-\cos x\Big]_0^{\pi} = -\cos\pi - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2$$

Propiedades

Área bajo una curva

Si $f(x) \ge 0$ en $[a,\, b]$, el área entre la curva, el eje $X$ y las rectas $x = a$ y $x = b$ es:

$$A = \int_a^b f(x)\,dx$$

Ejemplo: el área bajo $y = 4 - x^2$, entre $x = -2$ y $x = 2$ (donde la parábola corta al eje $X$):

$$A = \int_{-2}^{2}(4 - x^2)\,dx = \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-8 + \frac{8}{3}\right) = \frac{32}{3}\;u^2$$

• y = 4 − x²

Las unidades de área se escriben $u^2$ (unidades cuadradas).

Cuando la función es negativa

Si la curva está debajo del eje $X$, la integral da un número negativo. Como un área siempre es positiva, se toma el valor absoluto:

$$\int_0^2 (x^2 - 2x)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - x^2\right]_0^2 = \frac{8}{3} - 4 = -\frac{4}{3} \;\Rightarrow\; A = \frac{4}{3}\;u^2$$

Si la curva cruza el eje dentro del intervalo, se divide la integral en los puntos de cruce y se suman los valores absolutos de cada parte.

Comprueba lo aprendido

1. Calcula $\int_1^2 (3x^2 - 2x)\,dx$Ver respuestaOcultar respuesta

$\Big[x^3 - x^2\Big]_1^2 = (8 - 4) - (1 - 1) = 4$.

2. Calcula el área bajo $y = x^2 + 1$ entre $x = 0$ y $x = 3$Ver respuestaOcultar respuesta

$\left[\dfrac{x^3}{3} + x\right]_0^3 = 9 + 3 = 12\;u^2$.

3. Calcula $\int_0^1 e^x\,dx$Ver respuestaOcultar respuesta

$\Big[e^x\Big]_0^1 = e - 1 \approx 1.718$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de integrales

Referencias

• Stewart, J. (2018). Cálculo de una variable: trascendentes tempranas (8.ª ed.). Cengage Learning.
• Purcell, E. J., Varberg, D. y Rigdon, S. E. (2007). Cálculo (9.ª ed.). Pearson Educación.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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