La derivada: definición, notación e interpretación geométrica y física

La derivada mide qué tan rápido cambia una cantidad respecto a otra: la velocidad es la derivada de la posición respecto al tiempo, y la pendiente de una curva en un punto es la derivada de la función en ese punto. Es la herramienta central del cálculo diferencial.

De la pendiente de una secante a la tangente

La pendiente de la recta que une dos puntos de la curva, $(x,\, f(x))$ y $(x + h,\, f(x+h))$, es:

$$m_{\text{sec}} = \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

Si hacemos que el segundo punto se acerque al primero ($h \to 0$), la secante se convierte en la recta tangente, y su pendiente es la derivada.

Definición de derivada

$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

siempre que el límite exista. Al cociente $\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ se le llama cociente de incrementos (en algunos libros, $h$ se escribe $\Delta x$).

Ejemplo 1: deriva $f(x) = x^2$ con la definición.

$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \lim_{h\to 0}(2x + h) = 2x$$

Ejemplo 2: deriva $f(x) = \dfrac{1}{x}$.

$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{x - (x+h)}{h\,x(x+h)} = \lim_{h\to 0}\frac{-1}{x(x+h)} = -\frac{1}{x^2}$$

En la práctica, en lugar de la definición se usan las reglas de derivación, que se deducen de ella.

Notaciones

Todas estas expresiones significan lo mismo, la derivada de $y = f(x)$:

$$f'(x) \qquad y' \qquad \frac{dy}{dx} \qquad \frac{d}{dx}f(x) \qquad D_x f(x)$$

La notación $\dfrac{dy}{dx}$ (de Leibniz) recuerda que la derivada es un cociente de cambios: «cambio en $y$ entre cambio en $x$».

Interpretación geométrica

$f'(a)$ es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(a,\, f(a))$.

Para $f(x) = x^2$ en $x = 1$: $f'(1) = 2$. La tangente pasa por $(1,\, 1)$ con pendiente 2: $y = 2x - 1$.

• f(x) = x²
• tangente y = 2x − 1
• secante y = x + 1 (por x = 0 y x = 1)

• Si $f'(x) > 0$, la función crece; si $f'(x) < 0$, decrece.
• Si $f'(x) = 0$, la tangente es horizontal (posible máximo o mínimo).

Interpretación física

Si $s(t)$ es la posición de un objeto en el tiempo $t$, su derivada es la velocidad instantánea, y la derivada de la velocidad es la aceleración:

$$v(t) = s'(t) \qquad\qquad a(t) = v'(t) = s''(t)$$

Ejemplo: un objeto cae según $s(t) = 5t^2$ (metros). Su velocidad es $v(t) = 10t$; a los 3 segundos, $v(3) = 30$ m/s. Su aceleración es $a = 10$ m/s², constante.

En general, la derivada es la razón de cambio instantánea: cómo cambia el costo al producir una unidad más, cómo crece una población en un instante, etc.

Derivabilidad y continuidad

Si una función es derivable en un punto, es continua ahí. Lo contrario no siempre se cumple: $f(x) = |x|$ es continua en 0, pero tiene un «pico» y no es derivable en ese punto (las pendientes por la izquierda y por la derecha son $-1$ y $1$).

Comprueba lo aprendido

1. Deriva $f(x) = 3x - 5$ con la definiciónVer respuestaOcultar respuesta

$\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{3(x + h) - 5 - (3x - 5)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{3h}{h} = 3$. La derivada de una recta es su pendiente.

2. Si $s(t) = t^2 + 4t$ es la posición en metros, ¿cuál es la velocidad en $t = 2$ s?Ver respuestaOcultar respuesta

$v(t) = 2t + 4$, así que $v(2) = 8$ m/s.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de derivadas

Referencias

• Stewart, J. (2018). Cálculo de una variable: trascendentes tempranas (8.ª ed.). Cengage Learning.
• Granville, W. A. (2009). Cálculo diferencial e integral. Limusa.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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