Integración por sustitución (cambio de variable)

La mayoría de las integrales no son inmediatas. El método de sustitución (o cambio de variable) es la versión «al revés» de la regla de la cadena: transforma una integral complicada en una de la tabla de integrales inmediatas.

La idea

Si en el integrando aparece una función $u = g(x)$ y también su derivada $g'(x)$ (o un múltiplo de ella), se cambia de variable:

$$\int f\big(g(x)\big)\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du \qquad\text{con}\quad u = g(x),\;\; du = g'(x)\,dx$$

Método

1. Elige $u$: normalmente lo que está «adentro» (dentro de un paréntesis elevado, de una raíz, de un exponente o de una función).
2. Calcula $du = u'\,dx$.
3. Sustituye para que toda la integral quede en términos de $u$. Si falta una constante, ajústala.
4. Integra respecto a $u$.
5. Regresa a la variable $x$.

Ejemplos resueltos

1. Potencia de una función. $\displaystyle\int 2x(x^2 + 1)^4\,dx$

$u = x^2 + 1$, $du = 2x\,dx$. Todo el integrando se convierte:

$$\int u^4\,du = \frac{u^5}{5} + C = \frac{(x^2 + 1)^5}{5} + C$$

2. Ajustando una constante. $\displaystyle\int x\sqrt{x^2 + 5}\,dx$

$u = x^2 + 5$, $du = 2x\,dx$, así que $x\,dx = \dfrac{du}{2}$:

$$\int \sqrt{u}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{3}(x^2 + 5)^{3/2} + C$$

Solo se pueden ajustar constantes. Si falta una $x$, la sustitución no funciona y hay que usar otro método.

3. Trigonométrica con argumento lineal. $\displaystyle\int \sin(5x)\,dx$

$u = 5x$, $du = 5\,dx$:

$$\frac{1}{5}\int \sin u\,du = -\frac{1}{5}\cos(5x) + C$$

En general: $\displaystyle\int f(ax)\,dx = \frac{1}{a}F(ax) + C$. Por ejemplo, $\displaystyle\int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x} + C$.

4. Logaritmo. $\displaystyle\int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx$

$u = x^2 + 1$, $du = 2x\,dx$:

$$\frac{1}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C$$

Regla útil: si el numerador es la derivada del denominador, $\displaystyle\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$.

5. Exponencial. $\displaystyle\int \cos x\, e^{\sin x}\,dx$

$u = \sin x$, $du = \cos x\,dx$:

$$\int e^u\,du = e^{\sin x} + C$$

6. Con logaritmo natural. $\displaystyle\int \frac{\ln x}{x}\,dx$

$u = \ln x$, $du = \dfrac{dx}{x}$:

$$\int u\,du = \frac{u^2}{2} + C = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$$

Comprueba lo aprendido

1. Calcula $\int 6x(3x^2+1)^4\,dx$Ver respuestaOcultar respuesta

$u = 3x^2 + 1$, $du = 6x\,dx$: $\dfrac{(3x^2 + 1)^5}{5} + C$.

2. Calcula $\int \cos(4x)\,dx$Ver respuestaOcultar respuesta

$\dfrac{1}{4}\sin(4x) + C$.

3. Calcula $\int \frac{2x}{x^2+3}\,dx$Ver respuestaOcultar respuesta

El numerador es la derivada del denominador: $\ln(x^2 + 3) + C$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de integrales

Referencias

• Stewart, J. (2018). Cálculo de una variable: trascendentes tempranas (8.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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