Ejercicios resueltos de la parábola

Ejercicios de la unidad 11 del curso de matemáticas: la parábola. Resuelve cada uno y después da clic en «Ver respuesta» para revisar el procedimiento.

1.- Encuentra el foco, la directriz y la longitud del lado recto de $y^2 = 8x$.

1. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$4p = 8 \Rightarrow p = 2$. Foco $(2,\, 0)$, directriz $x = -2$, lado recto 8.

2.- El foco de la parábola $x^2 = 16y$ es:

• a) $(4,\, 0)$
• b) $(0,\, 4)$
• c) $(0,\, 16)$
• d) $(0,\, -4)$

2. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

b) $4p = 16 \Rightarrow p = 4$; es vertical, así que el foco es $(0,\, 4)$.

3.- ¿Hacia dónde abre $x^2 = -12y$ y cuál es su foco?

3. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$p = -3$: abre hacia abajo y su foco es $(0,\, -3)$.

4.- Escribe la ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco en $(-5,\, 0)$.

4. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Horizontal con $p = -5$: $y^2 = -20x$.

5.- La parábola con vértice en el origen y directriz $y = 3$ es:

• a) $x^2 = 12y$
• b) $y^2 = -12x$
• c) $x^2 = -12y$
• d) $x^2 = -3y$

5. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

c) La directriz está arriba del vértice, así que abre hacia abajo con $p = -3$: $x^2 = 4(-3)y = -12y$.

6.- Escribe la ecuación de la parábola con vértice $(3,\, 2)$ y foco $(5,\, 2)$.

6. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

El foco está 2 unidades a la derecha: horizontal con $p = 2$. $(y - 2)^2 = 8(x - 3)$.

7.- Escribe la ecuación de la parábola con vértice $(-1,\, 4)$ y directriz $y = 1$.

7. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

La directriz está 3 unidades abajo, así que abre hacia arriba con $p = 3$: $(x + 1)^2 = 12(y - 4)$.

8.- Escribe en forma general la parábola $(y - 2)^2 = 8(x - 3)$.

8. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$y^2 - 4y + 4 = 8x - 24 \Rightarrow y^2 - 8x - 4y + 28 = 0$.

9.- Encuentra el vértice, el foco y la directriz de $x^2 + 4x - 4y + 8 = 0$.

9. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$$x^2 + 4x + 4 = 4y - 8 + 4 \Rightarrow (x + 2)^2 = 4(y - 1)$$

Vértice $(-2,\, 1)$, $p = 1$, foco $(-2,\, 2)$ y directriz $y = 0$.

10.- El vértice de $y^2 - 2y - 12x - 23 = 0$ es:

• a) $(-2,\, 1)$
• b) $(1,\, -2)$
• c) $(2,\, 1)$
• d) $(-2,\, -1)$

10. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

a) $y^2 - 2y + 1 = 12x + 23 + 1 \Rightarrow (y - 1)^2 = 12(x + 2)$. Vértice $(-2,\, 1)$, con $p = 3$.

11.- ¿Cuánto mide el lado recto de $x^2 = -20y$?

11. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$|4p| = 20$.

12.- Una antena parabólica mide 4 m de diámetro y 0.5 m de profundidad. ¿A qué distancia del vértice debe colocarse el receptor (en el foco)?

12. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Con el vértice en el origen, la antena es $x^2 = 4py$ y pasa por $(2,\, 0.5)$:

$$4 = 4p(0.5) \Rightarrow p = 2$$

El receptor va a 2 m del vértice.

Si tuviste dudas, repasa la clase:

La parábola

Referencias

• Lehmann, C. H. (1989). Geometría analítica. Limusa.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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