Problemas resueltos de Números y Expresiones algebraicas (parte 3)

a) El mcm de 12, 18 y 4 es 36:

$$\frac{21}{36} + \frac{10}{36} - \frac{9}{36} = \frac{22}{36} = \frac{11}{18}$$

b) Se convierten a fracciones impropias y se multiplica por el recíproco:

$$\frac{8}{3} \div \frac{10}{9} = \frac{8}{3}\cdot\frac{9}{10} = \frac{72}{30} = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5}$$

Numerador: $\dfrac{4}{6} - \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{6}$. Denominador: $\dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{5}{12}$.

$$\frac{\frac{1}{6}}{\frac{5}{12}} = \frac{1}{6}\cdot\frac{12}{5} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}$$

b) Primero la potencia, luego multiplicación y división, al final sumas y restas:

$$5 - 2\cdot 9 + 3 = 5 - 18 + 3 = -10$$

Se multiplican coeficientes y se suman exponentes: $-12\,x^{3}y^{8}$.

$$(2a^3b^{-2})^{-2} = 2^{-2}\,a^{-6}\,b^{4} = \frac{b^4}{4a^6}$$

a) $\left(\sqrt[5]{32}\right)^3 = 2^3 = 8$.

Se suman los exponentes: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$, así que el resultado es $x^{5/6} = \sqrt[6]{x^5}$.

$\sqrt{49\cdot 2} = 7\sqrt{2}$.

a) Se simplifica cada radical: $2(5\sqrt{3}) - 4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 10\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$.

$$\frac{6}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$$

Se multiplica por el conjugado $\sqrt{3}-1$:

$$\frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{3-1} = \sqrt{3}-1$$

d) $35 = 4\cdot 8 + 3$, así que $i^{35} = i^3 = -i$.

$7i + 2i = 9i$.

b)

$$6 + 15i - 4i - 10i^2 = 6 + 11i + 10 = 16 + 11i$$

Se multiplica por el conjugado del denominador, $2-i$:

$$\frac{(5+5i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{10 - 5i + 10i - 5i^2}{4+1} = \frac{15+5i}{5} = 3 + i$$

Los términos tienen grado $4+1 = 5$, $2+3 = 5$ y $0$. El polinomio es de grado 5.

c) $\dfrac{(3-(-1))^2}{3+(-1)} = \dfrac{4^2}{2} = \dfrac{16}{2} = 8$.

Se quitan los paréntesis (cambiando signos en el que tiene $-$ delante) y se agrupan semejantes:

$$3x^2 - 5x + 2 - x^2 + 2x + 4 - x^2 + x = x^2 - 2x + 6$$

b)

$$x^3 + 2x^2 + 4x - 2x^2 - 4x - 8 = x^3 - 8$$

Es una diferencia de cubos, que estudiarás en factorización.

Con división sintética ($a = 1$), coeficientes $2,\,-3,\,4,\,-3$:

Cociente: $2x^2 - x + 3$; residuo: $0$.

$a^2 - b^2$. (No confundir con «el cuadrado de la diferencia», que es $(a-b)^2$).