Tipos de funciones algebraicas y sus gráficas

Una función algebraica es aquella cuya regla usa solo sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias y raíces de la variable. En esta clase verás los tipos principales y la forma de sus gráficas, que conviene reconocer a simple vista. Si necesitas repasar qué es el dominio y el rango, revisa la clase de funciones.

Función constante: f(x) = c

Su gráfica es una recta horizontal. Dominio: $\mathbb{R}$; rango: $\{c\}$.

Función lineal: f(x) = mx + b

Su gráfica es una recta. El número $m$ es la pendiente (cuánto sube $y$ por cada unidad que avanza $x$) y $b$ es la ordenada al origen (donde corta al eje $Y$).

• Si $m > 0$, la función es creciente; si $m < 0$, decreciente.
• La función identidad es $f(x) = x$.

• f(x) = 2x + 1
• f(x) = −x/2 + 2
• f(x) = 3

Las rectas se estudian a fondo en la unidad de la recta.

Función cuadrática: f(x) = ax² + bx + c

Su gráfica es una parábola. Abre hacia arriba si $a > 0$ y hacia abajo si $a < 0$. Su punto más alto o más bajo es el vértice:

$$x_v = -\frac{b}{2a}, \qquad y_v = f(x_v)$$

Para $f(x) = x^2 - 4x + 3$: $x_v = \dfrac{4}{2} = 2$ y $y_v = 4 - 8 + 3 = -1$. El vértice es $(2,\, -1)$, el rango es $[-1,\, \infty)$ y corta al eje $X$ en $x = 1$ y $x = 3$.

• f(x) = x² − 4x + 3
• f(x) = −x² + 4

Función cúbica y polinomiales

$f(x) = x^3$ y, en general, $f(x) = a_nx^n + \cdots + a_1x + a_0$. Las de grado impar van de $-\infty$ a $\infty$; sus cortes con el eje $X$ son las raíces del polinomio (las que encuentras con el teorema del factor).

Función racional: f(x) = P(x)/Q(x)

Es un cociente de polinomios. No está definida donde $Q(x) = 0$; ahí suele tener una asíntota vertical (una recta a la que la gráfica se acerca sin tocarla).

$$f(x) = \frac{1}{x - 2}: \quad D_f = \mathbb{R} - \{2\}, \quad \text{asíntota vertical } x = 2, \quad \text{asíntota horizontal } y = 0$$

• f(x) = 1/(x − 2)

Función raíz cuadrada: f(x) = √x

Empieza en el origen y crece cada vez más despacio. Dominio y rango: $[0,\, \infty)$.

Función valor absoluto: f(x) = |x|

Tiene forma de «V» con vértice en el origen. Se define por partes:

$$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$

• f(x) = √x
• f(x) = |x|
• f(x) = x³

Funciones definidas por partes

Usan una regla distinta en cada intervalo. Por ejemplo, una tarifa de taxi:

$$C(x) = \begin{cases} 40 & \text{si } 0 < x \le 3 \\ 40 + 12(x - 3) & \text{si } x > 3 \end{cases}$$

Los primeros 3 km cuestan $40 fijos y después se cobran $12 por kilómetro adicional. Para 8 km: $C(8) = 40 + 12(5) = 100$.

Funciones pares e impares

• Par: $f(-x) = f(x)$. Su gráfica es simétrica respecto al eje $Y$. Ejemplos: $x^2$, $|x|$.
• Impar: $f(-x) = -f(x)$. Su gráfica es simétrica respecto al origen. Ejemplos: $x^3$, $\dfrac{1}{x}$.

Comprueba lo aprendido

1. ¿Qué tipo de gráfica tiene $f(x) = -3x + 5$? ¿Es creciente o decreciente?Ver respuestaOcultar respuesta

Es una recta decreciente, porque su pendiente es $-3 < 0$.

2. ¿Cuál es el vértice de $f(x) = x^2 + 6x + 5$?Ver respuestaOcultar respuesta

$x_v = -\dfrac{6}{2} = -3$; $y_v = 9 - 18 + 5 = -4$. Vértice: $(-3,\, -4)$.

3. ¿$f(x) = x^4 - 2x^2$ es par o impar?Ver respuestaOcultar respuesta

Par: $f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 = x^4 - 2x^2 = f(x)$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de funciones

Referencias

• Stewart, J., Redlin, L. y Watson, S. (2017). Precálculo: matemáticas para el cálculo (7.ª ed.). Cengage Learning.
• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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