Ejercicios resueltos de desigualdades

Ejercicios de la unidad 4 del curso de matemáticas: desigualdades de primer y segundo grado. Resuelve cada uno, escribe la solución como intervalo y después da clic en «Ver respuesta» para revisar el procedimiento.

Desigualdades de primer grado

1.- Resuelve $4x - 3 > 9$

1. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$4x > 12 \Rightarrow x > 3$. Solución: $(3,\, \infty)$.

2.- La solución de $5 - 3x \le 14$ es:

• a) $x \le -3$
• b) $x \ge -3$
• c) $x \le 3$
• d) $x \ge 3$

2. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

b) $-3x \le 9$; al dividir entre $-3$ se invierte el signo: $x \ge -3$.

3.- Resuelve $2(x + 3) < 5x - 9$

3. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$2x + 6 < 5x - 9 \Rightarrow 15 < 3x \Rightarrow x > 5$. Solución: $(5,\, \infty)$.

4.- Resuelve $\dfrac{x}{2} - 1 \ge \dfrac{x}{3}$

4. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Multiplica por 6: $3x - 6 \ge 2x \Rightarrow x \ge 6$. Solución: $[6,\, \infty)$.

5.- La solución de $-5 \le 3x + 1 < 10$ es:

• a) $[-2,\, 3)$
• b) $(-2,\, 3]$
• c) $[-2,\, 3]$
• d) $(-6,\, 9)$

5. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

a) $-6 \le 3x < 9 \Rightarrow -2 \le x < 3$.

6.- Resuelve $1 < \dfrac{4 - x}{2} \le 3$

6. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Multiplica por 2: $2 < 4 - x \le 6$. Resta 4: $-2 < -x \le 2$. Multiplica por $-1$ (se invierten ambos signos): $2 > x \ge -2$.

Solución: $[-2,\, 2)$.

7.- Escribe $x \le -1$ en notación de intervalo.

7. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$(-\infty,\, -1]$.

8.- ¿Cuál es el menor número entero que cumple $3x - 7 > 11$?

8. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$3x > 18 \Rightarrow x > 6$. El menor entero mayor que 6 es 7.

9.- Resuelve $|x - 4| < 2$

9. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$-2 < x - 4 < 2 \Rightarrow 2 < x < 6$. Solución: $(2,\, 6)$.

Desigualdades de segundo grado

10.- Resuelve $x^2 - 9x + 14 < 0$

10. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$(x-2)(x-7) < 0$: entre las raíces. Solución: $(2,\, 7)$.

11.- La solución de $x^2 + 2x - 15 \ge 0$ es:

• a) $[-5,\, 3]$
• b) $(-\infty,\, -5] \cup [3,\, \infty)$
• c) $(-\infty,\, -3] \cup [5,\, \infty)$
• d) $[-3,\, 5]$

11. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

b) $(x+5)(x-3) \ge 0$: afuera de las raíces, incluyéndolas.

12.- Resuelve $x^2 > 16$

12. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$(x-4)(x+4) > 0$: $x < -4$ o $x > 4$. Solución: $(-\infty,\, -4) \cup (4,\, \infty)$.

13.- Resuelve $3x^2 - 12x \le 0$

13. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$3x(x - 4) \le 0$: entre las raíces, incluyéndolas. Solución: $[0,\, 4]$.

14.- Resuelve $2x^2 - 5x - 3 < 0$

14. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$(2x + 1)(x - 3) < 0$. Raíces: $-\frac{1}{2}$ y $3$. Solución: $\left(-\frac{1}{2},\, 3\right)$.

15.- ¿Para qué valores de $x$ se cumple $x^2 + 4 > 0$?

15. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Para todos los reales, porque $x^2 \ge 0$ y al sumarle 4 siempre es positivo.

Problemas

16.- El plan A de telefonía cuesta $150 más $2 por minuto, y el plan B, $300 más $0.50 por minuto. ¿Para cuántos minutos conviene el plan A?

16. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$150 + 2x < 300 + 0.5x \Rightarrow 1.5x < 150 \Rightarrow x < 100$. Conviene el plan A para menos de 100 minutos.

17.- El largo de un rectángulo mide 3 cm más que su ancho. ¿Qué valores puede tener el ancho para que el área no pase de 40 cm²?

17. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$x(x+3) \le 40 \Rightarrow x^2 + 3x - 40 \le 0 \Rightarrow (x+8)(x-5) \le 0 \Rightarrow -8 \le x \le 5$.

Como el ancho debe ser positivo: $0 < x \le 5$ cm.

Si tuviste dudas, repasa las clases de esta unidad:

Desigualdades de primer grado

Desigualdades de segundo grado

Referencias

• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

Ver Libro