La parábola: elementos, ecuaciones y forma general

La trayectoria de un balón, la forma de una antena satelital o el reflector de una linterna son parábolas. Su propiedad clave es que todos los rayos que llegan paralelos a su eje se reflejan hacia un mismo punto: el foco.

Definición y elementos

Una parábola es el conjunto de puntos que están a la misma distancia de un punto fijo (el foco) y de una recta fija (la directriz).

• Vértice ($V$): el punto de la parábola más cercano a la directriz; está a la mitad entre el foco y la directriz.
• Foco ($F$): punto fijo, a una distancia $|p|$ del vértice.
• Directriz: recta fija, a una distancia $|p|$ del vértice, del lado opuesto al foco.
• Eje: recta que pasa por el vértice y el foco; es el eje de simetría.
• Lado recto ($LR$): cuerda que pasa por el foco, perpendicular al eje. Mide $|4p|$.

Parábolas con vértice en el origen

Truco: la variable que no está al cuadrado indica hacia dónde abre: en $y^2 = 4px$ abre hacia el eje $X$.

Ejemplo 1: $y^2 = 12x$. Como $4p = 12$, $p = 3$: abre a la derecha, foco $(3,\, 0)$, directriz $x = -3$ y lado recto 12.

• y² = 12x

Ejemplo 2: $x^2 = -8y$. Como $4p = -8$, $p = -2$: abre hacia abajo, foco $(0,\, -2)$, directriz $y = 2$ y lado recto 8.

Parábolas con vértice fuera del origen

Si el vértice es $(h,\, k)$:

$$(y - k)^2 = 4p(x - h) \quad\text{(eje horizontal)} \qquad\qquad (x - h)^2 = 4p(y - k) \quad\text{(eje vertical)}$$

Ejemplo: vértice $(2,\, -1)$ y foco $(2,\, 1)$. El foco está 2 unidades arriba del vértice, así que la parábola es vertical, abre hacia arriba y $p = 2$:

$$(x - 2)^2 = 8(y + 1)$$

Su directriz es $y = -1 - 2 = -3$.

Ecuación general

Al desarrollar se obtiene una ecuación en la que solo una variable está al cuadrado:

$$Ax^2 + Dx + Ey + F = 0 \quad\text{(vertical)} \qquad\qquad Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 \quad\text{(horizontal)}$$

Del ejemplo anterior: $x^2 - 4x + 4 = 8y + 8 \;\Rightarrow\; x^2 - 4x - 8y - 4 = 0$.

De la forma general a la ordinaria

Se completa el cuadrado de la variable cuadrática. Para $y^2 - 6y - 8x + 1 = 0$:

$$\begin{aligned} y^2 - 6y &= 8x - 1 \\ y^2 - 6y + 9 &= 8x - 1 + 9 \\ (y - 3)^2 &= 8x + 8 = 8(x + 1) \end{aligned}$$

Vértice $(-1,\, 3)$, $p = 2$, abre a la derecha, foco $(1,\, 3)$ y directriz $x = -3$.

Comprueba lo aprendido

1. ¿Cuál es el foco y la directriz de $x^2 = 16y$?Ver respuestaOcultar respuesta

$4p = 16 \Rightarrow p = 4$. Foco $(0,\, 4)$ y directriz $y = -4$.

2. Escribe la ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco en $(-5,\, 0)$Ver respuestaOcultar respuesta

Horizontal con $p = -5$: $y^2 = -20x$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de la parábola

Referencias

• Lehmann, C. H. (1989). Geometría analítica. Limusa.
• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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