Fracciones algebraicas: simplificación, suma, resta, multiplicación y división

Una fracción algebraica es un cociente de polinomios, como $\dfrac{x^2-9}{x^2+5x+6}$. Se opera con ellas igual que con las fracciones numéricas, pero con un paso clave: factorizar primero. Por eso este tema reúne todo lo que viste en factorización.

Restricción: el denominador nunca puede valer cero. En $\dfrac{1}{x-2}$, $x$ no puede ser 2.

Simplificación

1. Factoriza el numerador y el denominador.
2. Cancela los factores comunes (nunca términos sueltos de una suma).

$$\frac{x^2-9}{x^2+5x+6} = \frac{(x-3)\cancel{(x+3)}}{(x+2)\cancel{(x+3)}} = \frac{x-3}{x+2}$$

Error frecuente: en $\dfrac{x+3}{x}$ no se puede «cancelar la $x$», porque $x$ es un término de una suma, no un factor. La fracción ya está simplificada.

Suma y resta

Igual que con números: se busca el mínimo común denominador (el producto de todos los factores distintos de los denominadores, con su mayor exponente).

$$\frac{2}{x+1} + \frac{3}{x-1} = \frac{2(x-1) + 3(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{2x - 2 + 3x + 3}{x^2-1} = \frac{5x+1}{x^2-1}$$

Cuando un denominador ya contiene al otro, factoriza para encontrarlo:

$$\frac{x}{x^2-4} - \frac{1}{x-2} = \frac{x}{(x-2)(x+2)} - \frac{x+2}{(x-2)(x+2)} = \frac{x - x - 2}{(x-2)(x+2)} = \frac{-2}{x^2-4}$$

Observa el paréntesis al restar: $-(x+2) = -x - 2$.

Multiplicación

Se factoriza todo, se cancelan los factores comunes y se multiplica lo que queda:

$$\frac{x^2-x-6}{x^2-9}\cdot\frac{x+3}{x+2} = \frac{\cancel{(x-3)}\cancel{(x+2)}}{\cancel{(x-3)}\cancel{(x+3)}}\cdot\frac{\cancel{(x+3)}}{\cancel{(x+2)}} = 1$$

División

Se multiplica por el recíproco de la segunda fracción:

$$\frac{x^2-1}{2x} \div \frac{x+1}{4x^2} = \frac{(x-1)\cancel{(x+1)}}{\cancel{2x}}\cdot\frac{\cancel{4x^2}^{\,2x}}{\cancel{x+1}} = 2x(x-1)$$

Fracciones complejas

Se simplifica por separado el numerador y el denominador, y luego se divide:

$$\frac{1 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x^2}} = \frac{\frac{x-1}{x}}{\frac{x^2-1}{x^2}} = \frac{x-1}{x}\cdot\frac{x^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{x}{x+1}$$

Comprueba lo aprendido

1. Simplifica $\frac{x^2-4x}{x^2-16}$Ver respuestaOcultar respuesta

$\dfrac{x(x-4)}{(x-4)(x+4)} = \dfrac{x}{x+4}$.

2. Calcula $\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}$Ver respuestaOcultar respuesta

El común denominador es $x^2$: $\dfrac{3x}{x^2} + \dfrac{2}{x^2} = \dfrac{3x+2}{x^2}$.

3. Calcula $\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+3}$Ver respuestaOcultar respuesta

$\dfrac{(x+3)-(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \dfrac{6}{x^2-9}$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de productos notables y factorización

Referencias

• Baldor, A. (2007). Álgebra. Grupo Editorial Patria.
• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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