Derivadas de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas

Además de las reglas para funciones algebraicas, necesitas las derivadas de las funciones trascendentes: trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Aquí tienes sus fórmulas y ejemplos que las combinan con las reglas del producto y del cociente.

Funciones trigonométricas

Truco: las funciones que empiezan con «co» (coseno, cotangente, cosecante) tienen derivada con signo negativo.

Estas fórmulas valen con $x$ en radianes.

• f(x) = sen x
• f′(x) = cos x

Ejemplos:

$$\frac{d}{dx}(x^2\sin x) = 2x\sin x + x^2\cos x \qquad\text{(producto)}$$

$$\frac{d}{dx}(3\cos x - \tan x) = -3\sin x - \sec^2 x$$

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2} \qquad\text{(cociente)}$$

Funciones exponenciales

La función $e^x$ es la única (salvo múltiplos) que es igual a su propia derivada; por eso el número $e$ es tan importante en cálculo.

$$\frac{d}{dx}(5^x) = 5^x\ln 5 \qquad\quad \frac{d}{dx}(e^x\cos x) = e^x\cos x - e^x\sin x = e^x(\cos x - \sin x)$$

Funciones logarítmicas

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln x}{x}\right) = \frac{\frac{1}{x}\cdot x - \ln x\cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$$

$$\frac{d}{dx}(x^3\ln x) = 3x^2\ln x + x^3\cdot\frac{1}{x} = 3x^2\ln x + x^2$$

Usa las propiedades de los logaritmos antes de derivar para simplificar. Por ejemplo, $\ln(x^4) = 4\ln x$, cuya derivada es $\dfrac{4}{x}$.

Con funciones compuestas

Si el argumento no es solo $x$ (por ejemplo, $\sin 4x$, $e^{x^2}$ o $\ln(x^2+1)$), hay que aplicar la regla de la cadena:

$$\frac{d}{dx}\sin(4x) = 4\cos(4x) \qquad \frac{d}{dx}e^{x^2} = 2x\,e^{x^2} \qquad \frac{d}{dx}\ln(x^2 + 1) = \frac{2x}{x^2 + 1}$$

Comprueba lo aprendido

1. Deriva $f(x) = x\cos x$Ver respuestaOcultar respuesta

$f'(x) = \cos x - x\sin x$.

2. Deriva $f(x) = 3e^x - 2\ln x$Ver respuestaOcultar respuesta

$f'(x) = 3e^x - \dfrac{2}{x}$.

3. Deriva $f(x) = x^2e^x$Ver respuestaOcultar respuesta

$f'(x) = 2xe^x + x^2e^x = xe^x(2 + x)$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de derivadas

Referencias

• Stewart, J. (2018). Cálculo de una variable: trascendentes tempranas (8.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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