Logaritmos: definición, propiedades y ecuaciones logarítmicas

Si $2^x = 8$, ¿cuánto vale $x$? La respuesta es 3, y esa pregunta, «¿a qué exponente hay que elevar la base?», es exactamente lo que responde un logaritmo. Los logaritmos son la operación inversa de la función exponencial.

Definición

$$\log_a x = y \qquad\Longleftrightarrow\qquad a^y = x \qquad (a > 0,\;\; a \neq 1,\;\; x > 0)$$

El logaritmo es un exponente. Se lee «logaritmo base $a$ de $x$».

Logaritmos especiales:

• Decimal: base 10, se escribe sin base: $\log x$.
• Natural: base $e$, se escribe $\ln x$.

Valores que conviene recordar: $\log_a 1 = 0$, $\log_a a = 1$, $\ln e = 1$, $\log_a a^n = n$.

El logaritmo de un número negativo o de cero no existe, porque ninguna potencia de una base positiva da cero o un negativo.

Propiedades de los logaritmos

Errores frecuentes: $\log(M + N) \neq \log M + \log N$ y $\dfrac{\log M}{\log N} \neq \log\dfrac{M}{N}$.

Desarrollar y compactar expresiones

$$\log\frac{x^2y}{z} = 2\log x + \log y - \log z$$

$$2\log 3 + \log 4 - \log 6 = \log\frac{3^2\cdot 4}{6} = \log 6$$

La función logarítmica

$f(x) = \log_a x$ es la inversa de $a^x$, así que su gráfica es el reflejo de la exponencial respecto a la recta $y = x$:

• Dominio: $(0,\, \infty)$. Rango: todos los reales.
• Pasa por $(1,\, 0)$.
• El eje $Y$ es una asíntota vertical.
• Si $a > 1$, es creciente.

• y = 2ˣ
• y = log₂ x
• y = x

Ecuaciones logarítmicas

Método: usa las propiedades para dejar un solo logaritmo, pasa a forma exponencial y verifica que la solución no haga negativo ni cero el argumento de ningún logaritmo.

Ejemplo 1: $\log_3(x + 1) = 2 \;\Rightarrow\; x + 1 = 3^2 = 9 \;\Rightarrow\; x = 8$.

Ejemplo 2: $\log x + \log(x - 3) = 1$

$$\log[x(x-3)] = 1 \;\Rightarrow\; x(x - 3) = 10 \;\Rightarrow\; x^2 - 3x - 10 = 0 \;\Rightarrow\; (x-5)(x+2) = 0$$

$x = -2$ se descarta porque $\log(-2)$ no existe. La solución es $x = 5$.

Ejemplo 3: $\ln(2x) = 3 \;\Rightarrow\; 2x = e^3 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{e^3}{2} \approx 10.04$.

Comprueba lo aprendido

1. Calcula $\log_3 81$Ver respuestaOcultar respuesta

$3^4 = 81$, así que $\log_3 81 = 4$.

2. Calcula $\log 0.001$Ver respuestaOcultar respuesta

$0.001 = 10^{-3}$, así que $\log 0.001 = -3$.

3. Compacta $\log 5 + \log 20$Ver respuestaOcultar respuesta

$\log(5\cdot 20) = \log 100 = 2$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de exponenciales y logaritmos

Referencias

• Stewart, J., Redlin, L. y Watson, S. (2017). Precálculo: matemáticas para el cálculo (7.ª ed.). Cengage Learning.
• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

Ver Libro