Ecuación general de segundo grado: cómo identificar una cónica

Todas las cónicas que has estudiado (la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola) se pueden escribir con una misma ecuación:

$$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$$

En esta clase verás cómo saber qué cónica es solo mirando los coeficientes, sin graficar.

• parábola
• circunferencia
• elipse

Caso 1: sin término xy (B = 0)

Los ejes de la cónica son paralelos a los ejes coordenados. Se identifica comparando $A$ y $C$:

Para encontrar sus elementos (centro, vértices, focos…), se completan los cuadrados, como viste en cada clase.

Caso 2: con término xy (B ≠ 0)

El término $xy$ indica que la cónica está girada. Para identificarla se usa el discriminante:

$$\Delta = B^2 - 4AC$$

Este criterio también funciona cuando $B = 0$: por ejemplo, para $3x^2 + 5y^2 - 6x = 0$, $\Delta = 0 - 60 < 0$, una elipse.

Ejemplos:

• $4x^2 - 4xy + y^2 + x = 0$: $\Delta = 16 - 16 = 0 \Rightarrow$ parábola.
• $x^2 + xy + y^2 - 3 = 0$: $\Delta = 1 - 4 = -3 \Rightarrow$ elipse.
• $xy = 4$: $A = C = 0$, $B = 1$, $\Delta = 1 > 0 \Rightarrow$ hipérbola (equilátera).

Ángulo de rotación

El ángulo $\theta$ que hay que girar los ejes para eliminar el término $xy$ cumple:

$$\tan 2\theta = \frac{B}{A - C} \qquad (\text{si } A = C,\; \theta = 45°)$$

Para $5x^2 + 4xy + 2y^2 - 6 = 0$: $\tan 2\theta = \dfrac{4}{5 - 2} = \dfrac{4}{3}$, así que $2\theta \approx 53.13°$ y $\theta \approx 26.57°$. Como $\Delta = 16 - 40 < 0$, es una elipse girada.

Casos degenerados

A veces la ecuación no representa la cónica «esperada», sino un caso límite:

• Un punto: $x^2 + y^2 = 0$ (solo el origen).
• Ningún punto real: $x^2 + y^2 + 1 = 0$.
• Dos rectas que se cortan: $x^2 - y^2 = 0 \Rightarrow y = \pm x$ (hipérbola degenerada).
• Dos rectas paralelas o una recta: $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$.

Por eso, después de identificar el tipo, conviene completar cuadrados y revisar el lado derecho.

Comprueba lo aprendido

1. ¿Qué cónica es $2x^2 + 3xy - 2y^2 + 5 = 0$?Ver respuestaOcultar respuesta

$\Delta = 9 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25 > 0$: hipérbola.

2. ¿Para qué valor de $k$ la ecuación $x^2 + ky^2 - 4 = 0$ es una circunferencia?Ver respuestaOcultar respuesta

Para $k = 1$. Si $k > 0$ y $k \neq 1$ es elipse, y si $k < 0$ es hipérbola.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de la ecuación general de segundo grado

Referencias

• Lehmann, C. H. (1989). Geometría analítica. Limusa.
• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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