Ley de senos y ley de cosenos: triángulos oblicuángulos

Las razones trigonométricas solo funcionan en triángulos rectángulos. Para cualquier otro triángulo (los oblicuángulos) se usan dos leyes: la de senos y la de cosenos.

Notación: los vértices son $A$, $B$ y $C$, y cada lado se nombra con la minúscula del ángulo opuesto: el lado $a$ está enfrente del ángulo $A$, y así sucesivamente.

Ley de senos

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

Cuándo usarla: cuando conoces un lado y su ángulo opuesto, más otro dato (dos ángulos y un lado, o dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos).

Ejemplo: $A = 40°$, $B = 60°$ y $a = 10$. Resuelve el triángulo.

1. Tercer ángulo: $C = 180° - 40° - 60° = 80°$.
2. Lado $b$:

$$\frac{b}{\sin 60°} = \frac{10}{\sin 40°} \;\Rightarrow\; b = \frac{10\sin 60°}{\sin 40°} \approx \frac{10(0.8660)}{0.6428} \approx 13.47$$

3. Lado $c$:

$$c = \frac{10\sin 80°}{\sin 40°} \approx \frac{10(0.9848)}{0.6428} \approx 15.32$$

Comprobación lógica: el lado más largo ($c$) está frente al ángulo más grande ($C = 80°$). ✓

Ley de cosenos

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

(y sus versiones equivalentes para $a^2$ y $b^2$). Es una generalización del teorema de Pitágoras: si $C = 90°$, como $\cos 90° = 0$, queda $c^2 = a^2 + b^2$.

Cuándo usarla:

• Conoces dos lados y el ángulo entre ellos y buscas el tercer lado.
• Conoces los tres lados y buscas un ángulo.

Ejemplo 1 (dos lados y el ángulo entre ellos): $a = 7$, $b = 5$ y $C = 60°$.

$$c^2 = 49 + 25 - 2(7)(5)\cos 60° = 74 - 70\cdot\frac{1}{2} = 39 \;\Rightarrow\; c = \sqrt{39} \approx 6.24$$

Ejemplo 2 (tres lados): $a = 5$, $b = 7$, $c = 8$. Encuentra el ángulo $B$.

Despejamos el coseno de $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$:

$$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{25 + 64 - 49}{2(5)(8)} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2} \;\Rightarrow\; B = 60°$$

Si el coseno resulta negativo, el ángulo es obtuso (mayor que 90°).

¿Cuál ley uso?

Comprueba lo aprendido

1. Si $A = 45°$, $B = 30°$ y $b = 10$, ¿cuánto mide $a$?Ver respuestaOcultar respuesta

$a = \dfrac{10\sin 45°}{\sin 30°} = \dfrac{10\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 10\sqrt{2} \approx 14.14$.

2. Si $a = 3$, $b = 5$ y $C = 120°$, ¿cuánto mide $c$?Ver respuestaOcultar respuesta

$c^2 = 9 + 25 - 30\cos 120° = 34 - 30\left(-\tfrac{1}{2}\right) = 49 \Rightarrow c = 7$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de trigonometría

Referencias

• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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