Distancia entre dos puntos, punto medio y división de un segmento

La geometría analítica une el álgebra con la geometría: cada punto del plano se describe con dos números $(x,\, y)$ y cada figura con una ecuación. Las primeras herramientas que necesitas son las fórmulas para medir distancias y encontrar puntos sobre un segmento.

El plano cartesiano

Está formado por dos rectas perpendiculares, el eje $X$ (de las abscisas) y el eje $Y$ (de las ordenadas), que se cortan en el origen $O(0,\, 0)$ y dividen el plano en cuatro cuadrantes. Cada punto se escribe $P(x,\, y)$: primero la coordenada horizontal y después la vertical.

Distancia entre dos puntos

La distancia entre $A(x_1,\, y_1)$ y $B(x_2,\, y_2)$ se obtiene con el teorema de Pitágoras: los catetos son las diferencias de coordenadas.

$$d_{AB} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Ejemplo: distancia entre $A(-2,\, 1)$ y $B(4,\, 9)$:

$$d = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (9 - 1)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$

El orden de los puntos no importa, porque las diferencias se elevan al cuadrado.

Aplicación: para saber si tres puntos forman un triángulo isósceles, rectángulo o equilátero, calcula la longitud de sus tres lados. Para el perímetro, súmalas.

Punto medio

El punto medio de un segmento es el promedio de las coordenadas de sus extremos:

$$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$

Para $A(-2,\, 1)$ y $B(4,\, 9)$: $M = \left(\dfrac{-2 + 4}{2},\; \dfrac{1 + 9}{2}\right) = (1,\, 5)$.

Encontrar un extremo: si el punto medio es $M(2,\, 5)$ y un extremo es $A(-1,\, 3)$, el otro extremo $B(x,\, y)$ cumple

$$\frac{-1 + x}{2} = 2 \Rightarrow x = 5 \qquad\qquad \frac{3 + y}{2} = 5 \Rightarrow y = 7 \qquad\Rightarrow\qquad B(5,\, 7)$$

División de un segmento en una razón dada

El punto $P(x,\, y)$ que divide al segmento $AB$ de modo que $\dfrac{AP}{PB} = r$ está dado por:

$$x = \frac{x_1 + r\,x_2}{1 + r} \qquad\qquad y = \frac{y_1 + r\,y_2}{1 + r}$$

El punto medio es el caso $r = 1$.

Ejemplo: el punto que divide al segmento de $A(1,\, -2)$ a $B(6,\, 8)$ en la razón $r = \frac{2}{3}$:

$$x = \frac{1 + \frac{2}{3}(6)}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{5}{\frac{5}{3}} = 3 \qquad\qquad y = \frac{-2 + \frac{2}{3}(8)}{\frac{5}{3}} = \frac{\frac{10}{3}}{\frac{5}{3}} = 2$$

El punto es $P(3,\, 2)$. Está más cerca de $A$ que de $B$, como se espera con $r < 1$.

Comprueba lo aprendido

1. Calcula la distancia entre $(-3,\, 2)$ y $(5,\, -4)$Ver respuestaOcultar respuesta

$\sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = 10$.

2. ¿Cuál es el punto medio entre $(-4,\, 7)$ y $(6,\, -1)$?Ver respuestaOcultar respuesta

$\left(\dfrac{2}{2},\, \dfrac{6}{2}\right) = (1,\, 3)$.

3. ¿Cuál es el perímetro del triángulo con vértices $(0,\,0)$, $(3,\,0)$ y $(3,\,4)$?Ver respuestaOcultar respuesta

Los lados miden 3, 4 y $\sqrt{9+16} = 5$. Perímetro: 12.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de la recta

Referencias

• Lehmann, C. H. (1989). Geometría analítica. Limusa.
• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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