Ejercicios resueltos de trigonometría

Ejercicios de la unidad 7 del curso de matemáticas: trigonometría. Resuelve cada uno y después da clic en «Ver respuesta» para revisar el procedimiento.

Grados y radianes

1.- Convierte 225° a radianes.

1. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$225\cdot\dfrac{\pi}{180} = \dfrac{5\pi}{4}$ rad.

2.- ¿A cuántos grados equivalen $\dfrac{7\pi}{6}$ rad?

• a) 120°
• b) 150°
• c) 210°
• d) 240°

2. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

c) $\dfrac{7(180°)}{6} = 210°$.

Razones trigonométricas y triángulos rectángulos

3.- Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 y 8. Si $A$ es el ángulo opuesto al cateto de 6, calcula $\sin A$, $\cos A$ y $\tan A$.

3. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Hipotenusa: $\sqrt{36 + 64} = 10$.

$$\sin A = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \qquad \cos A = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \qquad \tan A = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$

4.- El valor de $\tan 45° + 2\sin 30°$ es:

• a) $1$
• b) $2$
• c) $\sqrt{2}$
• d) $\dfrac{3}{2}$

4. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

b) $1 + 2\cdot\dfrac{1}{2} = 2$.

5.- Si $\cos\theta = \dfrac{2}{3}$, ¿cuánto vale $\sec\theta$?

5. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta} = \dfrac{3}{2}$.

6.- Una escalera de 6 m forma un ángulo de 60° con el piso. ¿A qué altura de la pared llega?

6. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$h = 6\sin 60° = 6\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \approx 5.2$ m.

7.- Una torre de 30 m se observa desde un punto a $30\sqrt{3}$ m de su base. ¿Cuál es el ángulo de elevación?

• a) 30°
• b) 45°
• c) 60°
• d) 90°

7. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

a) $\tan\theta = \dfrac{30}{30\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$, que corresponde a 30°.

8.- Un poste de 8 m proyecta su sombra cuando el Sol tiene una elevación de 45°. ¿Cuánto mide la sombra?

8. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$\tan 45° = \dfrac{8}{s} \Rightarrow s = \dfrac{8}{1} = 8$ m.

Ley de senos y cosenos

9.- En un triángulo, $A = 45°$, $B = 30°$ y $b = 10$. ¿Cuánto mide $a$?

9. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$$a = \frac{b\sin A}{\sin B} = \frac{10\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 10\sqrt{2} \approx 14.14$$

10.- En un triángulo, $a = 3$, $b = 5$ y $C = 120°$. El lado $c$ mide:

• a) $\sqrt{19}$
• b) $7$
• c) $8$
• d) $\sqrt{34}$

10. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

b) $c^2 = 9 + 25 - 2(3)(5)\cos 120° = 34 - 30\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 49 \Rightarrow c = 7$.

11.- Los lados de un triángulo miden 3, 5 y 7. ¿Cuánto mide su ángulo mayor?

11. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

El ángulo mayor está frente al lado mayor (7):

$$\cos C = \frac{9 + 25 - 49}{2(3)(5)} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2} \Rightarrow C = 120°$$

Círculo unitario y cuadrantes

12.- ¿Qué signo tiene $\sin 200°$?

12. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Negativo: 200° está en el cuadrante III, donde el seno es negativo.

13.- El valor de $\cos 120°$ es:

• a) $\dfrac{1}{2}$
• b) $-\dfrac{1}{2}$
• c) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
• d) $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

13. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

b) Cuadrante II, ángulo de referencia 60°: $-\cos 60° = -\dfrac{1}{2}$.

14.- ¿Cuánto vale $\tan 315°$?

14. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Cuadrante IV, referencia 45°: $-\tan 45° = -1$.

15.- ¿Cuánto vale $\sin 270°$?

15. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$-1$ (el punto del círculo unitario es $(0,\, -1)$).

16.- Si $\sin\theta = \dfrac{4}{5}$ y $\theta$ está en el cuadrante II, calcula $\cos\theta$ y $\tan\theta$.

16. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$\cos^2\theta = 1 - \dfrac{16}{25} = \dfrac{9}{25}$; en el II el coseno es negativo: $\cos\theta = -\dfrac{3}{5}$.

$\tan\theta = \dfrac{4/5}{-3/5} = -\dfrac{4}{3}$.

Identidades y gráficas

17.- Simplifica $\sin x\cot x$

17. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$\sin x\cdot\dfrac{\cos x}{\sin x} = \cos x$.

18.- La expresión $(\sec^2 x - 1)\cos^2 x$ es igual a:

• a) $1$
• b) $\cos^2 x$
• c) $\sin^2 x$
• d) $\tan^2 x$

18. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

c) $\sec^2 x - 1 = \tan^2 x$, y $\tan^2 x\cos^2 x = \sin^2 x$.

19.- Demuestra que $\cos x\,(\sec x - \cos x) = \sin^2 x$

19. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$$\cos x\cdot\frac{1}{\cos x} - \cos^2 x = 1 - \cos^2 x = \sin^2 x \quad\checkmark$$

20.- ¿Cuál es la amplitud y el periodo de $y = 3\cos 2x$?

20. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Amplitud $3$; periodo $\dfrac{2\pi}{2} = \pi$.

21.- Resuelve $2\sin x - 1 = 0$ para $0° \le x < 360°$

21. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$\sin x = \dfrac{1}{2}$. El seno es positivo en los cuadrantes I y II, con referencia 30°: $x = 30°$ y $x = 150°$.

Si tuviste dudas, repasa las clases de esta unidad:

Razones trigonométricas

Ley de senos y cosenos

Círculo unitario

Referencias

• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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