Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones

Sumando: $2x = 14 \Rightarrow x = 7$; entonces $y = 3$.

a) Sumando: $4x = 16 \Rightarrow x = 4$; en la segunda, $4 + 2y = 12 \Rightarrow y = 4$.

$2x + 3x - 5 = 10 \Rightarrow 5x = 15 \Rightarrow x = 3$; $y = 9 - 5 = 4$.

De la segunda, $y = 2x - 3$. Sustituyendo: $4x + 6x - 9 = 1 \Rightarrow x = 1$; $y = -1$.

$$\Delta = (5)(4) - (3)(-2) = 26 \qquad \Delta_x = (11)(4) - (4)(-2) = 52 \qquad \Delta_y = (5)(4) - (3)(11) = -13$$

$x = \dfrac{52}{26} = 2$, $\;y = \dfrac{-13}{26} = -\dfrac{1}{2}$.

Multiplicando la primera por 6: $3x + 2y = 24$. De la segunda, $x = y + 3$:

$$3(y + 3) + 2y = 24 \Rightarrow 5y = 15 \Rightarrow y = 3,\quad x = 6$$

c) Al multiplicar la primera por 2 queda $4x - 2y = 6$, que contradice $4x - 2y = 5$. Las rectas son paralelas.

Infinitas: la segunda ecuación es la primera multiplicada por 2; las rectas coinciden.

No hay solución si $\Delta = 0$ (y las ecuaciones no son proporcionales): $k(1) - 3(2) = 0 \Rightarrow k = 6$.

Con $k = 6$, la segunda multiplicada por 2 es $6x + 2y = 2$, distinta de $6x + 2y = 5$: rectas paralelas.

$x + y = 45$, $x - y = 9 \Rightarrow 2x = 54 \Rightarrow x = 27$, $y = 18$.

$3c + 2p = 110$, $2c + 5p = 110$. Multiplicando la primera por 2 y la segunda por 3:

$$6c + 4p = 220,\qquad 6c + 15p = 330 \;\Rightarrow\; 11p = 110 \Rightarrow p = 10,\;\; c = 30$$

El cuaderno cuesta $30 y la pluma $10.

a) $x + y = 40$ y $5x + 10y = 290$ (dividiendo entre 5: $x + 2y = 58$). Restando: $y = 18$, $x = 22$.

Primera menos segunda: $2y = 6 \Rightarrow y = 3$. Primera menos tercera: $2z = 8 \Rightarrow z = 4$. Entonces $x = 9 - 3 - 4 = 2$.

Eliminamos $z$:

• (1) + (2): $3x + y = 7$
• 2·(2) + (3): $4x - 2y + 2z + 3x + y - 2z = 12 + 1 \Rightarrow 7x - y = 13$

Sumando estas dos: $10x = 20 \Rightarrow x = 2$, y $y = 7 - 6 = 1$. En (2): $4 - 1 + z = 6 \Rightarrow z = 3$.

Solución: $(2,\, 1,\, 3)$.