Binomio de Newton y triángulo de Pascal

Desarrollar $(a+b)^2$ o $(a+b)^3$ es sencillo con los productos notables, pero ¿y $(x+2)^6$? Multiplicar seis veces sería lento. El binomio de Newton da una fórmula directa para cualquier potencia, y el triángulo de Pascal da sus coeficientes sin hacer cálculos complicados.

El triángulo de Pascal

Cada fila empieza y termina en 1, y cada número interior es la suma de los dos que tiene arriba:

La fila $n$ contiene los coeficientes de $(a+b)^n$. Por ejemplo, la fila 4 dice que

$$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$$

Propiedades del desarrollo de (a + b)ⁿ

1. Tiene $n+1$ términos.
2. El exponente de $a$ empieza en $n$ y baja de uno en uno hasta 0.
3. El exponente de $b$ empieza en 0 y sube de uno en uno hasta $n$.
4. En cada término, la suma de los exponentes es $n$.
5. Si el binomio es una resta, $(a-b)^n$, los signos se alternan: $+,\,-,\,+,\,-,\dots$

La fórmula del binomio de Newton

$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{\,n-k}\, b^{\,k}, \qquad \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$$

El número $\binom{n}{k}$ (se lee «$n$ en $k$») es el coeficiente que aparece en el triángulo de Pascal. Recuerda que $n! = 1\cdot2\cdot3\cdots n$ y que $0! = 1$.

$$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,3!} = \frac{120}{2\cdot 6} = 10$$

Ejemplos resueltos

1. Desarrolla $(x+2)^4$. Coeficientes de la fila 4: 1, 4, 6, 4, 1.

$$\begin{aligned} (x+2)^4 &= 1\,x^4 + 4\,x^3(2) + 6\,x^2(2)^2 + 4\,x(2)^3 + 1\,(2)^4 \\ &= x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16 \end{aligned}$$

2. Desarrolla $(2x-1)^5$. Coeficientes de la fila 5: 1, 5, 10, 10, 5, 1, con signos alternados:

$$\begin{aligned} (2x-1)^5 &= (2x)^5 - 5(2x)^4 + 10(2x)^3 - 10(2x)^2 + 5(2x) - 1 \\ &= 32x^5 - 80x^4 + 80x^3 - 40x^2 + 10x - 1 \end{aligned}$$

Término general: encontrar un término sin desarrollar todo

El término que ocupa el lugar $k+1$ es:

$$T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{\,n-k}\, b^{\,k}$$

Ejemplo: el cuarto término de $(x+3)^6$. Como es el cuarto, $k = 3$:

$$T_4 = \binom{6}{3} x^{3}\,(3)^{3} = 20\cdot 27\,x^3 = 540\,x^3$$

Ejemplo: el término que contiene $x^2$ en $(x - 2)^5$. El exponente de $x$ es $5-k = 2$, así que $k = 3$:

$$T_4 = \binom{5}{3} x^2(-2)^3 = 10\cdot(-8)\,x^2 = -80x^2$$

Comprueba lo aprendido

1. ¿Cuántos términos tiene el desarrollo de $(a+b)^9$?Ver respuestaOcultar respuesta

$n + 1 = 10$ términos.

2. ¿Cuáles son los coeficientes de $(a+b)^3$?Ver respuestaOcultar respuesta

1, 3, 3, 1 (fila 3 del triángulo de Pascal).

3. Calcula el segundo término de $(x+5)^4$Ver respuestaOcultar respuesta

$k = 1$: $\binom{4}{1}x^3(5) = 20x^3$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de productos notables y factorización

Referencias

• Baldor, A. (2007). Álgebra. Grupo Editorial Patria.
• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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