Ecuaciones de primer grado: ejercicios resueltos

Ejercicios de la unidad 3 del curso de matemáticas, primera parte: despejes, ecuaciones de primer grado y problemas de planteamiento. Resuelve cada uno y después da clic en «Ver respuesta» para revisar el procedimiento completo.

Despejes

1.- Despeja $h$ de la fórmula del volumen del cilindro, $V = \pi r^2 h$

$h = \dfrac{V}{\pi r^2}$ .

2.- Al despejar $a$ de $v_f = v_0 + at$ se obtiene:

a) $a = v_f - v_0 - t$
b) $a = \dfrac{v_f - v_0}{t}$
c) $a = \dfrac{v_f}{t} - v_0$
d) $a = t(v_f - v_0)$

b) $v_f - v_0 = at \;\Rightarrow\; a = \dfrac{v_f - v_0}{t}$ .

3.- Despeja $r$ de $A = \pi r^2$

$r^2 = \dfrac{A}{\pi} \;\Rightarrow\; r = \sqrt{\dfrac{A}{\pi}}$ (positivo, por ser una longitud).

4.- Despeja $x$ de $ax - b = cx + d$

$ax - cx = d + b \;\Rightarrow\; x(a-c) = b + d \;\Rightarrow\; x = \dfrac{b+d}{a-c}$ .

Ecuaciones de primer grado

5.- Resuelve $7x - 4 = 3x + 20$

$4x = 24 \Rightarrow x = 6$ .

6.- La solución de $5 - 2(x - 3) = 3(x + 2)$ es:

a) $x = 1$
b) $x = -1$
c) $x = \dfrac{5}{3}$
d) $x = 2$

a) $5 - 2x + 6 = 3x + 6 \Rightarrow 11 - 2x = 3x + 6 \Rightarrow 5 = 5x \Rightarrow x = 1$ .

7.- Resuelve $4(2x - 1) - 3(x + 2) = 2x + 5$

$8x - 4 - 3x - 6 = 2x + 5 \Rightarrow 5x - 10 = 2x + 5 \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow x = 5$ .

8.- Resuelve $\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{5} = 14$

Multiplica por 10: $5x + 2x = 140 \Rightarrow 7x = 140 \Rightarrow x = 20$ .

9.- La solución de $\dfrac{2x+1}{3} - \dfrac{x-2}{4} = 2$ es:

a) $x = 2$
b) $x = \dfrac{14}{5}$
c) $x = 4$
d) $x = \dfrac{2}{5}$

b) Multiplica por 12: $4(2x+1) - 3(x-2) = 24 \Rightarrow 8x + 4 - 3x + 6 = 24 \Rightarrow 5x + 10 = 24 \Rightarrow x = \dfrac{14}{5}$ .

Comprobación: $\dfrac{2(2.8)+1}{3} - \dfrac{2.8-2}{4} = \dfrac{6.6}{3} - \dfrac{0.8}{4} = 2.2 - 0.2 = 2$ ✓

10.- Resuelve $\dfrac{5}{x} - 2 = \dfrac{1}{x}$

Multiplica por $x$ (con $x \neq 0$ ): $5 - 2x = 1 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$ .

11.- Resuelve $\dfrac{4}{x+1} = \dfrac{3}{x-1}$

En cruz: $4(x-1) = 3(x+1) \Rightarrow 4x - 4 = 3x + 3 \Rightarrow x = 7$ . No anula ningún denominador, así que es válida.

12.- ¿Cuántas soluciones tiene $3(x + 2) = 3x + 5$ ?

Ninguna. $3x + 6 = 3x + 5 \Rightarrow 6 = 5$ , que es falso.

Problemas

13.- La suma de dos números pares consecutivos es 66. ¿Cuáles son?

$2n + (2n + 2) = 66 \Rightarrow 4n = 64 \Rightarrow n = 16$ . Los números son 32 y 34.

14.- La edad de un padre es cuatro veces la de su hijo. Hace 5 años era siete veces. ¿Qué edad tiene el hijo?

a) 8 años
b) 10 años
c) 12 años
d) 15 años

b) Hijo $x$ , padre $4x$ . Hace 5 años: $4x - 5 = 7(x - 5) \Rightarrow 4x - 5 = 7x - 35 \Rightarrow 30 = 3x \Rightarrow x = 10$ . El padre tiene 40.

15.- El perímetro de un triángulo isósceles es 52 cm y la base mide 8 cm menos que cada lado igual. ¿Cuánto mide cada lado?

Lados iguales $x$ , base $x - 8$ : $2x + (x - 8) = 52 \Rightarrow 3x = 60 \Rightarrow x = 20$ . Los lados iguales miden 20 cm y la base 12 cm.

16.- Un trabajador cobra $450 por día normal y $600 por día festivo. En 20 días cobró $9 600. ¿Cuántos días festivos trabajó?

Festivos $x$ , normales $20 - x$ : $600x + 450(20 - x) = 9600 \Rightarrow 150x + 9000 = 9600 \Rightarrow x = 4$ . Trabajó 4 días festivos.

17.- Un tren sale a las 8:00 a 80 km/h. A las 10:00 sale otro del mismo lugar, en la misma dirección, a 120 km/h. ¿A qué hora alcanza al primero?

Si el segundo viaja $t$ horas, el primero lleva $t + 2$ . Lo alcanza cuando recorren la misma distancia:

$120t = 80(t+2) \Rightarrow 40t = 160 \Rightarrow t = 4$

Lo alcanza a las 14:00 (a 480 km del punto de partida).

18.- Una persona pinta una barda en 4 horas y otra en 12 horas. ¿Cuánto tardan juntas?

a) 3 horas
b) 8 horas
c) 16 horas
d) 2 horas

a) $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$ , así que tardan 3 horas.

19.- Después de un descuento del 25 %, un pantalón cuesta $540. ¿Cuál era su precio original?

$0.75p = 540 \Rightarrow p = 720$ . Costaba $720.

20.- ¿Cuántos litros de agua hay que agregar a 12 litros de una solución con 40 % de alcohol para que quede al 30 %?

El alcohol no cambia: $0.40(12) = 4.8$ litros. Con $x$ litros de agua:

$0.30(12 + x) = 4.8 \Rightarrow 12 + x = 16 \Rightarrow x = 4$

Hay que agregar 4 litros de agua.

Si tuviste dudas, repasa las clases de esta unidad:

Despeje de fórmulas

Ecuaciones de primer grado

Problemas con ecuaciones de primer grado

Referencias

Baldor, A. (2007). Álgebra. Grupo Editorial Patria.
Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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