Límites indeterminados: forma 0/0 y límites al infinito

Cuando al sustituir en un límite obtienes $\dfrac{0}{0}$ o $\dfrac{\infty}{\infty}$, no significa que el límite no exista: es una forma indeterminada y hay que transformar la expresión para descubrir su valor. En esta clase verás las técnicas para resolverlas. Si necesitas repasar la idea de límite, revisa la clase de concepto de límite.

Forma 0/0: factorizar y simplificar

Si un polinomio vale cero en $x = a$, entonces $(x - a)$ es uno de sus factores (teorema del factor). Se factoriza, se cancela y se sustituye de nuevo.

Ejemplo 1:

$$\lim_{x\to 3}\frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x\to 3}\frac{(x-3)(x+3)}{x - 3} = \lim_{x\to 3}(x + 3) = 6$$

Ejemplo 2:

$$\lim_{x\to 2}\frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4} = \lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)} = \lim_{x\to 2}\frac{x - 3}{x + 2} = -\frac{1}{4}$$

Ejemplo 3 (diferencia de cubos):

$$\lim_{x\to 1}\frac{x^3 - 1}{x - 1} = \lim_{x\to 1}(x^2 + x + 1) = 3$$

Cancelar $(x - a)$ es válido porque en el límite $x$ se acerca a $a$ pero nunca es igual a $a$.

Forma 0/0: racionalizar

Cuando hay raíces, se multiplica por el conjugado (como al racionalizar):

$$\begin{aligned} \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x} &= \lim_{x\to 0}\frac{(\sqrt{x+4} - 2)(\sqrt{x+4} + 2)}{x(\sqrt{x+4} + 2)} \\ &= \lim_{x\to 0}\frac{x + 4 - 4}{x(\sqrt{x+4} + 2)} = \lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+4} + 2} = \frac{1}{4} \end{aligned}$$

Límites al infinito

Se pregunta qué pasa con $f(x)$ cuando $x$ crece sin límite. Para funciones racionales, se divide numerador y denominador entre la mayor potencia de $x$ del denominador, usando que $\dfrac{c}{x^n} \to 0$ cuando $x \to \infty$:

$$\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2 - 2x + 1}{5x^2 + 4} = \lim_{x\to\infty}\frac{3 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{5 + \frac{4}{x^2}} = \frac{3 - 0 + 0}{5 + 0} = \frac{3}{5}$$

Regla rápida de los grados

Para $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}$:

$$\lim_{x\to\infty}\frac{2x + 1}{x^2 + 3} = 0 \qquad \lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{x^2 + 1} = \infty$$

Asíntotas horizontales

Si $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = L$, la recta $y = L$ es una asíntota horizontal. Para $f(x) = \dfrac{3x^2 - 2x + 1}{5x^2 + 4}$, la asíntota es $y = \frac{3}{5}$.

• f(x) = (2x + 1)/(x − 1)

Las asíntotas verticales están en los valores que anulan el denominador (y no el numerador): ahí el límite es infinito.

Comprueba lo aprendido

1. Calcula $\lim_{x\to 5}\frac{x^2-25}{x-5}$Ver respuestaOcultar respuesta

$\lim (x + 5) = 10$.

2. Calcula $\lim_{x\to 9}\frac{\sqrt{x}-3}{x-9}$Ver respuestaOcultar respuesta

$x - 9 = (\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)$, así que el límite es $\dfrac{1}{\sqrt{9} + 3} = \dfrac{1}{6}$.

3. Calcula $\lim_{x\to\infty}\frac{4x^3-x}{2x^3+5}$Ver respuestaOcultar respuesta

Mismo grado: $\dfrac{4}{2} = 2$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de límites

Referencias

• Stewart, J. (2018). Cálculo de una variable: trascendentes tempranas (8.ª ed.). Cengage Learning.
• Purcell, E. J., Varberg, D. y Rigdon, S. E. (2007). Cálculo (9.ª ed.). Pearson Educación.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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