Operaciones con polinomios: suma, resta, multiplicación y división

Operar con polinomios es como operar con números, con una regla extra: solo se suman los términos semejantes. En esta clase verás las cuatro operaciones, incluida la división sintética, que también usarás para factorizar y en el teorema del residuo.

Suma y resta

Se agrupan los términos semejantes y se suman sus coeficientes. En la resta, se cambia el signo de todos los términos del polinomio que se resta:

$$(3a^2 - 2a + 1) - (a^2 + 5a - 4) = 3a^2 - 2a + 1 - a^2 - 5a + 4 = 2a^2 - 7a + 5$$

Con signos de agrupación, se eliminan de adentro hacia afuera, cambiando los signos cuando hay un $-$ delante:

$$2x - \{3x - [x - (4 - x)]\} = 2x - \{3x - [x - 4 + x]\} = 2x - \{3x - 2x + 4\} = 2x - x - 4 = x - 4$$

Multiplicación

Monomio por polinomio

Se multiplica el monomio por cada término (propiedad distributiva), aplicando la ley de los signos y las leyes de los exponentes:

$$-3x^2(2x^3 - 5x + 4) = -6x^5 + 15x^3 - 12x^2$$

Polinomio por polinomio

Se multiplica cada término del primero por cada término del segundo y al final se reducen los términos semejantes:

$$\begin{aligned} (2x - 3)(x^2 + 4x - 1) &= 2x^3 + 8x^2 - 2x - 3x^2 - 12x + 3 \\ &= 2x^3 + 5x^2 - 14x + 3 \end{aligned}$$

Comprobación rápida: sustituye un valor sencillo, como $x = 1$. A la izquierda: $(2-3)(1+4-1) = (-1)(4) = -4$. A la derecha: $2 + 5 - 14 + 3 = -4$. ✓

División

Polinomio entre monomio

Se divide cada término del polinomio entre el monomio:

$$\frac{12x^4 - 8x^3 + 4x^2}{4x^2} = 3x^2 - 2x + 1$$

Polinomio entre polinomio (división larga)

Se ordenan ambos polinomios de mayor a menor exponente (completando con ceros los términos que falten) y se repiten estos pasos:

1. Divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.
2. Multiplica ese resultado por todo el divisor y réstalo del dividendo.
3. Baja el siguiente término y repite hasta que el residuo tenga menor grado que el divisor.

Divide $2x^2 + 3x - 5$ entre $x + 2$:

• $2x^2 \div x = 2x$. Multiplica: $2x(x+2) = 2x^2 + 4x$. Resta: $(2x^2 + 3x) - (2x^2 + 4x) = -x$. Baja el $-5$: queda $-x - 5$.
• $-x \div x = -1$. Multiplica: $-1(x+2) = -x - 2$. Resta: $(-x - 5) - (-x - 2) = -3$.

$$\text{Cociente: } 2x - 1 \qquad \text{Residuo: } -3 \qquad\Rightarrow\qquad 2x^2+3x-5 = (x+2)(2x-1) - 3$$

División sintética

Es un atajo para dividir entre un binomio de la forma $x - a$. Se trabaja solo con los coeficientes.

Divide $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ entre $x - 1$ (entonces $a = 1$):

1. Baja el primer coeficiente (1).
2. Multiplícalo por $a$ y escribe el resultado bajo el siguiente coeficiente: $1\cdot1 = 1$; suma: $-2 + 1 = -1$.
3. Repite: $-1\cdot 1 = -1$; $-5 + (-1) = -6$. Luego $-6\cdot1 = -6$; $6 + (-6) = 0$.

Los números de la última fila son los coeficientes del cociente (un grado menos) y el último es el residuo:

$$\frac{x^3 - 2x^2 - 5x + 6}{x - 1} = x^2 - x - 6 \qquad \text{residuo } 0$$

Para dividir entre $x + 3$, usa $a = -3$, porque $x + 3 = x - (-3)$.

Comprueba lo aprendido

1. Calcula $(x+4)(x-3)$Ver respuestaOcultar respuesta

$x^2 - 3x + 4x - 12 = x^2 + x - 12$.

2. Divide $\frac{6x^3-9x^2}{3x}$Ver respuestaOcultar respuesta

$2x^2 - 3x$.

3. ¿Cuál es el residuo de dividir $x^2+5x+7$ entre $x+2$?Ver respuestaOcultar respuesta

Con división sintética ($a=-2$): coeficientes $1,\;5,\;7$ → $1,\; 3,\; 1$. El cociente es $x+3$ y el residuo es 1.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos: exponentes, radicales, complejos y polinomios

Referencias

• Baldor, A. (2007). Álgebra. Grupo Editorial Patria.
• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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