Teorema del residuo y teorema del factor

¿Qué residuo queda al dividir $x^3 - 4x^2 + 2x + 5$ entre $x - 3$? Podrías hacer la división completa, pero el teorema del residuo da la respuesta en un solo paso. Y su consecuencia, el teorema del factor, permite factorizar polinomios de grado 3 o mayor que no encajan en los casos de factorización vistos antes.

Teorema del residuo

El residuo de dividir un polinomio $P(x)$ entre $x - a$ es igual a $P(a)$.

Es decir, basta con sustituir $x = a$ en el polinomio. Si el divisor es $x + a$, se sustituye $x = -a$.

Ejemplo: residuo de $(x^3 - 4x^2 + 2x + 5) \div (x - 3)$:

$$P(3) = 3^3 - 4(3)^2 + 2(3) + 5 = 27 - 36 + 6 + 5 = 2$$

El residuo es 2. Puedes comprobarlo con división sintética:

¿Por qué funciona? Al dividir, $P(x) = (x - a)\,Q(x) + R$. Si sustituyes $x = a$, el primer término se anula y queda $P(a) = R$.

Teorema del factor

$x - a$ es factor de $P(x)$ si y solo si $P(a) = 0$.

Si el residuo es cero, la división es exacta y $P(x) = (x - a)\,Q(x)$. Al valor $a$ se le llama raíz o cero del polinomio.

Ejemplo: ¿$x + 2$ es factor de $x^3 + 3x^2 - 4$?

$$P(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 - 4 = -8 + 12 - 4 = 0 \;\Rightarrow\; \text{sí es factor}$$

Factorizar un polinomio de grado 3

1. Busca posibles raíces enteras: son los divisores del término independiente (con signo $+$ y $-$).
2. Prueba cada una sustituyendo, hasta encontrar una que dé $P(a) = 0$.
3. Divide entre $x - a$ con división sintética.
4. Factoriza el cociente, que ya es de grado 2.

Ejemplo: factoriza $x^3 + 3x^2 - 4$.

• Divisores de $-4$: $\pm1, \pm2, \pm4$.
• $P(1) = 1 + 3 - 4 = 0$ ✓, así que $x - 1$ es factor.
• División sintética entre $x - 1$ (coeficientes $1, 3, 0, -4$; no olvides el 0 del término en $x$): cociente $x^2 + 4x + 4$.
• $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$.

$$x^3 + 3x^2 - 4 = (x - 1)(x + 2)^2$$

Las raíces del polinomio son $x = 1$ y $x = -2$. En la gráfica, son los puntos donde la curva toca el eje $X$:

• y = x³ + 3x² − 4

Encontrar un valor desconocido

Ejemplo: ¿qué valor debe tener $k$ para que $x^3 + kx^2 - x + 6$ sea divisible entre $x - 2$?

Divisible significa residuo 0, así que $P(2) = 0$:

$$8 + 4k - 2 + 6 = 0 \;\Rightarrow\; 4k = -12 \;\Rightarrow\; k = -3$$

Comprueba lo aprendido

1. ¿Qué residuo deja $x^2 + 5x - 3$ al dividirlo entre $x - 1$?Ver respuestaOcultar respuesta

$P(1) = 1 + 5 - 3 = 3$.

2. ¿Es $x - 2$ factor de $x^3 - 8$?Ver respuestaOcultar respuesta

Sí: $P(2) = 8 - 8 = 0$. De hecho, $x^3 - 8 = (x-2)(x^2+2x+4)$.

3. ¿Qué residuo deja $2x^3 - x + 7$ al dividirlo entre $x + 1$?Ver respuestaOcultar respuesta

Se sustituye $x = -1$: $2(-1)^3 - (-1) + 7 = -2 + 1 + 7 = 6$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de productos notables y factorización

Referencias

• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Baldor, A. (2007). Álgebra. Grupo Editorial Patria.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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