Reglas de derivación de funciones algebraicas

Calcular cada derivada con la definición por límite sería muy largo. Por eso se usan reglas que se deducen una sola vez y después se aplican de forma directa. En esta clase verás las de las funciones algebraicas.

Fórmulas básicas

La regla de la potencia funciona para cualquier exponente real: positivo, negativo o fraccionario.

Polinomios

Se deriva término por término:

$$\frac{d}{dx}(4x^5 - 3x^2 + 7x - 2) = 20x^4 - 6x + 7$$

Raíces y potencias negativas

Primero se reescriben como potencias (leyes de los exponentes):

$$\frac{d}{dx}\sqrt{x} = \frac{d}{dx}x^{1/2} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{3}{x^2}\right) = \frac{d}{dx}(3x^{-2}) = -6x^{-3} = -\frac{6}{x^3}$$

$$\frac{d}{dx}\sqrt[3]{x^2} = \frac{d}{dx}x^{2/3} = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$$

Regla del producto

«La derivada del primero por el segundo, más el primero por la derivada del segundo»:

$$\frac{d}{dx}\left[(x^2 + 1)(3x - 2)\right] = (2x)(3x - 2) + (x^2 + 1)(3) = 6x^2 - 4x + 3x^2 + 3 = 9x^2 - 4x + 3$$

Puedes comprobarlo desarrollando primero el producto: $3x^3 - 2x^2 + 3x - 2$, cuya derivada es la misma.

Regla del cociente

«La derivada del numerador por el denominador, menos el numerador por la derivada del denominador, todo entre el denominador al cuadrado»:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{2x + 1}{x - 3}\right) = \frac{2(x - 3) - (2x + 1)(1)}{(x - 3)^2} = \frac{2x - 6 - 2x - 1}{(x-3)^2} = \frac{-7}{(x - 3)^2}$$

Cuidado con el orden: en el numerador va primero la derivada de arriba. Si inviertes el orden, el signo sale al revés.

Consejo: si el denominador es solo una constante o una potencia de $x$, no uses la regla del cociente; reescribe. Por ejemplo, $\dfrac{x^3 + 2}{5} = \dfrac{1}{5}x^3 + \dfrac{2}{5}$, cuya derivada es $\dfrac{3}{5}x^2$.

Derivadas de otras funciones

Las derivadas de seno, coseno, exponenciales y logaritmos se ven en esta clase, y la derivada de funciones compuestas, como $(3x^2 + 1)^5$, con la regla de la cadena.

Comprueba lo aprendido

1. Deriva $f(x) = 3x^4 - 5x^3 + 2x - 9$Ver respuestaOcultar respuesta

$f'(x) = 12x^3 - 15x^2 + 2$.

2. Deriva $f(x) = \frac{4}{x^3}$Ver respuestaOcultar respuesta

$4x^{-3} \Rightarrow -12x^{-4} = -\dfrac{12}{x^4}$.

3. Deriva $f(x) = \frac{x^2+1}{x-1}$Ver respuestaOcultar respuesta

$$\frac{2x(x - 1) - (x^2 + 1)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}$$

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de derivadas

Referencias

• Stewart, J. (2018). Cálculo de una variable: trascendentes tempranas (8.ª ed.). Cengage Learning.
• Granville, W. A. (2009). Cálculo diferencial e integral. Limusa.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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