Integración por partes

¿Cómo se integra $x\,e^x$ o $\ln x$? Ninguna está en la tabla y la sustitución no ayuda. Para productos de funciones de distinto tipo se usa la integración por partes, que viene de la regla del producto de las derivadas.

La fórmula

$$\int u\,dv = u\,v - \int v\,du$$

Se elige una parte del integrando como $u$ (que se va a derivar) y el resto como $dv$ (que se va a integrar). El objetivo es que la nueva integral, $\int v\,du$, sea más sencilla que la original.

Una forma de recordarla: «un día vi = una vaca vestida de uniforme».

Cómo elegir u: la regla LIATE

Elige como $u$ la función que aparezca primero en esta lista:

Ejemplos resueltos

1. $\displaystyle\int x\,e^x\,dx$

$u = x \Rightarrow du = dx$; $\;dv = e^x\,dx \Rightarrow v = e^x$.

$$\int x\,e^x\,dx = x\,e^x - \int e^x\,dx = x\,e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C$$

Comprobación: $\dfrac{d}{dx}[e^x(x - 1)] = e^x(x - 1) + e^x = x\,e^x$ ✓

2. $\displaystyle\int x\cos x\,dx$

$u = x$, $du = dx$; $dv = \cos x\,dx$, $v = \sin x$.

$$\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C$$

3. $\displaystyle\int \ln x\,dx$. Aquí $dv$ es solo $dx$.

$u = \ln x$, $du = \dfrac{dx}{x}$; $dv = dx$, $v = x$.

$$\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - x + C$$

4. Aplicando dos veces. $\displaystyle\int x^2 e^x\,dx$

Primera vez: $u = x^2$, $dv = e^x\,dx$:

$$\int x^2e^x\,dx = x^2e^x - \int 2x\,e^x\,dx$$

La nueva integral es del ejemplo 1: $\int 2x\,e^x\,dx = 2e^x(x - 1)$. Entonces:

$$\int x^2e^x\,dx = x^2e^x - 2x\,e^x + 2e^x + C = e^x(x^2 - 2x + 2) + C$$

5. Con argumento lineal. $\displaystyle\int x\sin 2x\,dx$

$u = x$, $du = dx$; $dv = \sin 2x\,dx$, $v = -\dfrac{1}{2}\cos 2x$.

$$\int x\sin 2x\,dx = -\frac{x}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}\int\cos 2x\,dx = -\frac{x}{2}\cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x + C$$

Comprueba lo aprendido

1. Calcula $\int x\,e^{2x}\,dx$Ver respuestaOcultar respuesta

$u = x$, $v = \dfrac{1}{2}e^{2x}$:

$$\frac{x}{2}e^{2x} - \frac{1}{2}\int e^{2x}\,dx = \frac{x}{2}e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C = \frac{e^{2x}}{4}(2x - 1) + C$$

2. Calcula $\int x\ln x\,dx$Ver respuestaOcultar respuesta

$u = \ln x$ (L va primero), $dv = x\,dx$, $v = \dfrac{x^2}{2}$:

$$\frac{x^2}{2}\ln x - \int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$$

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de integrales

Referencias

• Stewart, J. (2018). Cálculo de una variable: trascendentes tempranas (8.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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