Funciones: regla de correspondencia, dominio, contradominio y rango

Una función describe cómo una cantidad depende de otra: el costo de un viaje en taxi depende de los kilómetros, el área de un círculo depende de su radio. Es uno de los conceptos más importantes de las matemáticas y la base de todo el cálculo.

¿Qué es una función?

Una función $f$ es una regla que asigna a cada elemento $x$ de un conjunto (el dominio) exactamente un elemento $y$ de otro conjunto (el contradominio). Se escribe $y = f(x)$.

• $x$ es la variable independiente.
• $y$ es la variable dependiente, porque su valor depende de $x$.
• La regla de correspondencia es la fórmula que dice cómo obtener $y$ a partir de $x$, por ejemplo $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$.

Prueba de la recta vertical

Una gráfica representa una función si ninguna recta vertical la corta en más de un punto. La parábola $y = x^2$ es función; la circunferencia $x^2 + y^2 = 4$ no lo es, porque a $x = 0$ le corresponden $y = 2$ y $y = -2$.

• y = x² (sí es función)
• x² + y² = 4 (no es función)

Valor de una función

Evaluar una función es sustituir $x$ por un valor. Para $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$:

$$f(-2) = 2(-2)^2 - 3(-2) + 1 = 8 + 6 + 1 = 15$$

También se pueden sustituir expresiones:

$$f(a+1) = 2(a+1)^2 - 3(a+1) + 1 = 2a^2 + 4a + 2 - 3a - 3 + 1 = 2a^2 + a$$

Dominio, contradominio y rango

• Dominio ($D_f$): todos los valores de $x$ para los que la función está definida.
• Contradominio: el conjunto donde caen los resultados (normalmente, todos los reales).
• Rango o imagen ($R_f$): los valores de $y$ que la función realmente alcanza.

Cómo encontrar el dominio

Se parte de todos los reales y se quitan los valores que producen operaciones imposibles:

Ejemplo 1. $f(x) = \dfrac{x+1}{x^2 - 9}$. El denominador se anula si $x^2 = 9$, es decir, $x = \pm 3$:

$$D_f = \mathbb{R} - \{-3,\, 3\}$$

Ejemplo 2. $f(x) = \sqrt{9 - x^2}$. Necesitamos $9 - x^2 \ge 0$, una desigualdad de segundo grado:

$$x^2 \le 9 \;\Rightarrow\; D_f = [-3,\, 3]$$

Cómo encontrar el rango

Lo más práctico es analizar la gráfica o despejar $x$ en términos de $y$:

• $f(x) = x^2 + 1$: como $x^2 \ge 0$, entonces $y \ge 1$. Rango: $[1,\, \infty)$.
• $f(x) = \sqrt{x - 2}$: una raíz cuadrada nunca es negativa. Rango: $[0,\, \infty)$.
• $f(x) = \sqrt{9 - x^2}$: es la mitad superior de una circunferencia de radio 3. Rango: $[0,\, 3]$.

• f(x) = √(x − 2)
• f(x) = √(9 − x²)

Comprueba lo aprendido

1. Si $f(x) = x^2 - 4x$, ¿cuánto vale $f(3)$?Ver respuestaOcultar respuesta

$9 - 12 = -3$.

2. ¿Cuál es el dominio de $f(x) = \frac{2}{x+7}$?Ver respuestaOcultar respuesta

$\mathbb{R} - \{-7\}$.

3. ¿Cuál es el dominio de $f(x) = \sqrt{x+1}$?Ver respuestaOcultar respuesta

$x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$: $[-1,\, \infty)$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de funciones

Referencias

• Stewart, J., Redlin, L. y Watson, S. (2017). Precálculo: matemáticas para el cálculo (7.ª ed.). Cengage Learning.
• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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