Radicales: simplificación, operaciones y racionalización

Los radicales (las raíces) aparecen al resolver ecuaciones de segundo grado, al aplicar el teorema de Pitágoras y en geometría analítica. En esta clase aprenderás a simplificarlos, a operar con ellos y a quitar las raíces del denominador (racionalizar).

Partes de un radical

$$\sqrt[n]{a} = b \quad\Longleftrightarrow\quad b^n = a$$

• $n$ es el índice (si no se escribe, vale 2: raíz cuadrada).
• $a$ es el radicando.
• $b$ es la raíz.

Un radical equivale a una potencia con exponente fraccionario: $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$. Por eso las leyes de los radicales se deducen de las leyes de los exponentes.

Raíces de números negativos: si el índice es impar, existe y es negativa ($\sqrt[3]{-27} = -3$). Si el índice es par, no es un número real ($\sqrt{-4}$ es un número imaginario).

Propiedades de los radicales

Simplificar un radical

Se descompone el radicando en factores, buscando potencias iguales al índice, y esas se sacan de la raíz:

$$\sqrt{72} = \sqrt{36\cdot 2} = 6\sqrt{2} \qquad\quad \sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27\cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}$$

Con literales, se divide el exponente entre el índice: el cociente sale de la raíz y el residuo se queda dentro.

$$\sqrt{50x^5y^2} = \sqrt{25\cdot 2\cdot x^4\cdot x\cdot y^2} = 5x^2y\sqrt{2x}$$

Truco: para la raíz cuadrada, memoriza los cuadrados perfectos (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144); para la cúbica, los cubos (8, 27, 64, 125, 216).

Suma y resta de radicales

Solo se pueden sumar radicales semejantes: los que tienen el mismo índice y el mismo radicando. Primero se simplifica cada uno:

$$3\sqrt{2} + 5\sqrt{8} - \sqrt{18} = 3\sqrt{2} + 5(2\sqrt{2}) - 3\sqrt{2} = 3\sqrt{2} + 10\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$$

Igual que $3x + 10x - 3x = 10x$: el radical se comporta como una «letra».

Multiplicación y división de radicales

Con el mismo índice, se multiplican (o dividen) los radicandos y se simplifica:

$$\sqrt{6}\cdot\sqrt{10} = \sqrt{60} = \sqrt{4\cdot 15} = 2\sqrt{15} \qquad\quad \frac{\sqrt[3]{80}}{\sqrt[3]{10}} = \sqrt[3]{8} = 2$$

Con coeficientes, se multiplican coeficientes con coeficientes y radicandos con radicandos: $(2\sqrt{3})(5\sqrt{6}) = 10\sqrt{18} = 10\cdot 3\sqrt{2} = 30\sqrt{2}$.

Racionalizar el denominador

Racionalizar es eliminar el radical del denominador multiplicando arriba y abajo por un factor adecuado.

Denominador con un solo radical cuadrado: se multiplica por ese mismo radical.

$$\frac{5}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5} \qquad\quad \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Denominador con dos términos: se multiplica por el conjugado (el mismo binomio con el signo del medio cambiado). Así se forma una diferencia de cuadrados, $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$$\frac{4}{\sqrt{5}-1} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{5-1} = \sqrt{5}+1$$

Comprueba lo aprendido

1. Simplifica $\sqrt{50}$Ver respuestaOcultar respuesta

$\sqrt{25\cdot 2} = 5\sqrt{2}$.

2. Calcula $\sqrt{12}+\sqrt{27}$Ver respuestaOcultar respuesta

$2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.

3. Racionaliza $\frac{6}{\sqrt{3}}$Ver respuestaOcultar respuesta

$\dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$.

Practica con los ejercicios resueltos de radicales:

Ejercicios resueltos de números reales, parte 2

Referencias

• Baldor, A. (2007). Álgebra. Grupo Editorial Patria.
• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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