Máximos y mínimos: criterios de la primera y segunda derivada

Una de las aplicaciones más útiles de la derivada es encontrar los puntos más altos y más bajos de una función: la producción con mayor ganancia, el diseño con menor costo o la altura máxima de un proyectil. En esta clase verás cómo encontrarlos y cómo describir la forma de una gráfica.

Crecimiento y decrecimiento

El signo de la derivada indica hacia dónde va la función:

• Si $f'(x) > 0$ en un intervalo, $f$ es creciente ahí.
• Si $f'(x) < 0$, $f$ es decreciente.

Puntos críticos

Son los valores de $x$ donde $f'(x) = 0$ (tangente horizontal) o donde $f'(x)$ no existe. Los máximos y mínimos relativos solo pueden estar en puntos críticos.

Criterio de la primera derivada

Analiza el signo de $f'$ antes y después de cada punto crítico:

Criterio de la segunda derivada

Evalúa $f''$ en cada punto crítico $c$ (donde $f'(c) = 0$):

Ejemplo completo

Analiza $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$.

1. Puntos críticos:

$$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1) = 0 \;\Rightarrow\; x = -1,\;\; x = 3$$

2. Segunda derivada: $f''(x) = 6x - 6$.

• $f''(-1) = -12 < 0 \Rightarrow$ máximo en $x = -1$: $f(-1) = -1 - 3 + 9 + 5 = 10$. Punto $(-1,\, 10)$.
• $f''(3) = 12 > 0 \Rightarrow$ mínimo en $x = 3$: $f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22$. Punto $(3,\, -22)$.

3. Intervalos: $f'$ es positiva para $x < -1$ y $x > 3$ (crece) y negativa entre $-1$ y $3$ (decrece).

4. Concavidad e inflexión: $f''(x) = 0 \Rightarrow x = 1$. Para $x < 1$, $f'' < 0$ (cóncava hacia abajo); para $x > 1$, $f'' > 0$ (cóncava hacia arriba). El punto de inflexión, donde cambia la concavidad, es $(1,\, f(1)) = (1,\, -6)$.

• f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5

Máximos y mínimos absolutos en un intervalo cerrado

En un intervalo $[a,\, b]$, el máximo y el mínimo absolutos se buscan entre los puntos críticos que están dentro del intervalo y los extremos $a$ y $b$: se evalúa $f$ en todos ellos y se comparan.

Para la función anterior en $[-2,\, 4]$: $f(-2) = 3$, $f(-1) = 10$, $f(3) = -22$ y $f(4) = -15$. El máximo absoluto es 10 y el mínimo absoluto es $-22$.

Comprueba lo aprendido

1. Encuentra los máximos y mínimos de $f(x) = x^3 - 12x$Ver respuestaOcultar respuesta

$f'(x) = 3x^2 - 12 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$. Con $f''(x) = 6x$: en $x = 2$, $f'' > 0$, mínimo $(2,\, -16)$; en $x = -2$, $f'' < 0$, máximo $(-2,\, 16)$.

2. ¿En qué intervalo crece $f(x) = x^2 - 4x + 3$?Ver respuestaOcultar respuesta

$f'(x) = 2x - 4 > 0 \Rightarrow x > 2$. Crece en $(2,\, \infty)$ y decrece en $(-\infty,\, 2)$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de aplicaciones de la derivada

Referencias

• Stewart, J. (2018). Cálculo de una variable: trascendentes tempranas (8.ª ed.). Cengage Learning.
• Purcell, E. J., Varberg, D. y Rigdon, S. E. (2007). Cálculo (9.ª ed.). Pearson Educación.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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