Funciones trigonométricas: gráficas de seno, coseno y tangente

Al recorrer el círculo unitario, el seno y el coseno suben y bajan una y otra vez. Si graficamos esos valores contra el ángulo (en radianes), obtenemos ondas que se repiten: las funciones trigonométricas son el modelo de todo lo que es periódico, como el sonido, la luz o las mareas.

Función seno: y = sen x

• Dominio: todos los reales.
• Rango: $[-1,\, 1]$.
• Periodo: $2\pi$ (la gráfica se repite cada $2\pi$).
• Corta el eje $X$ en $0, \pi, 2\pi, \dots$; vale 1 en $\frac{\pi}{2}$ y $-1$ en $\frac{3\pi}{2}$.
• Es impar: $\sin(-x) = -\sin x$.

Función coseno: y = cos x

• Dominio: todos los reales. Rango: $[-1,\, 1]$. Periodo: $2\pi$.
• Vale 1 en $0$, $-1$ en $\pi$ y corta el eje $X$ en $\frac{\pi}{2}$ y $\frac{3\pi}{2}$.
• Es la gráfica del seno recorrida $\frac{\pi}{2}$ a la izquierda: $\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$.
• Es par: $\cos(-x) = \cos x$.

• y = sen x
• y = cos x

Función tangente: y = tan x

• Dominio: todos los reales excepto $\frac{\pi}{2} + k\pi$ (donde el coseno vale cero).
• Rango: todos los reales.
• Periodo: $\pi$.
• Tiene asíntotas verticales en $x = \pm\frac{\pi}{2}, \pm\frac{3\pi}{2}, \dots$

• y = tan x

Amplitud y periodo: y = A sen(Bx)

Lo mismo vale para $y = A\cos(Bx)$. Para la tangente, el periodo es $\dfrac{\pi}{|B|}$.

Ejemplos:

• $y = 2\sin x$: amplitud 2, periodo $2\pi$. La onda sube hasta 2 y baja hasta $-2$.
• $y = \sin 2x$: amplitud 1, periodo $\dfrac{2\pi}{2} = \pi$. La onda se repite el doble de rápido.
• $y = 3\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)$: amplitud 3, periodo $\dfrac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.

• y = sen x
• y = 2 sen x
• y = sen 2x

Ecuaciones trigonométricas sencillas

Para resolver $\sin x = \dfrac{1}{2}$ entre 0° y 360°: el ángulo de referencia es 30°, y el seno es positivo en los cuadrantes I y II:

$$x = 30° \qquad\text{y}\qquad x = 180° - 30° = 150°$$

En la gráfica, son los dos puntos en los que la onda del seno cruza la recta $y = \frac{1}{2}$ dentro de un periodo.

Comprueba lo aprendido

1. ¿Cuál es la amplitud y el periodo de $y = 3\cos 2x$?Ver respuestaOcultar respuesta

Amplitud 3; periodo $\dfrac{2\pi}{2} = \pi$.

2. ¿Cuál es el rango de $y = 4\sin x$?Ver respuestaOcultar respuesta

$[-4,\, 4]$.

3. Resuelve $\cos x = 0$ para $0 \le x < 2\pi$Ver respuestaOcultar respuesta

$x = \dfrac{\pi}{2}$ y $x = \dfrac{3\pi}{2}$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de trigonometría

Referencias

• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Stewart, J., Redlin, L. y Watson, S. (2017). Precálculo: matemáticas para el cálculo (7.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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