Ejercicios resueltos de funciones algebraicas

Ejercicios de la unidad 6 del curso de matemáticas: funciones algebraicas. Resuelve cada uno y después da clic en «Ver respuesta» para revisar el procedimiento.

Valor, dominio y rango

1.- Si $f(x) = x^2 - 4x + 3$, ¿cuánto vale $f(-1)$?

1. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$(-1)^2 - 4(-1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8$.

2.- Si $f(x) = \dfrac{x+2}{x-1}$, ¿cuánto vale $f(3)$?

• a) $\dfrac{5}{2}$
• b) $\dfrac{2}{5}$
• c) $5$
• d) $\dfrac{1}{2}$

2. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

a) $\dfrac{3+2}{3-1} = \dfrac{5}{2}$.

3.- ¿Cuál es el dominio de $f(x) = \sqrt{2x - 6}$?

3. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$2x - 6 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3$: $[3,\, \infty)$.

4.- El dominio de $f(x) = \dfrac{5}{x^2 - 4}$ es:

• a) $\mathbb{R}$
• b) $\mathbb{R} - \{4\}$
• c) $\mathbb{R} - \{-2,\, 2\}$
• d) $(-2,\, 2)$

4. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

c) El denominador se anula en $x = \pm 2$.

5.- ¿Cuál es el dominio de $f(x) = \sqrt{16 - x^2}$?

5. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$16 - x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 \le 16 \Rightarrow [-4,\, 4]$.

6.- ¿Cuál es el rango de $f(x) = x^2 - 2$?

6. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Como $x^2 \ge 0$, entonces $x^2 - 2 \ge -2$: $[-2,\, \infty)$.

7.- ¿Cuál de las siguientes no es una función?

• a) $y = x^3$
• b) $y = |x|$
• c) $x^2 + y^2 = 1$
• d) $y = 5$

7. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

c) La circunferencia no pasa la prueba de la recta vertical: a $x = 0$ le corresponden $y = 1$ y $y = -1$.

8.- Encuentra el vértice y el rango de $f(x) = x^2 - 6x + 5$.

8. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$x_v = \dfrac{6}{2} = 3$; $y_v = 9 - 18 + 5 = -4$. Vértice $(3,\, -4)$. La parábola abre hacia arriba, así que el rango es $[-4,\, \infty)$.

9.- Encuentra la función lineal que pasa por $(1,\, 3)$ y $(3,\, 7)$.

9. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Pendiente $m = \dfrac{7-3}{3-1} = 2$. Con $f(x) = 2x + b$ y el punto $(1,\, 3)$: $3 = 2 + b \Rightarrow b = 1$. Entonces $f(x) = 2x + 1$.

Operaciones, composición e inversa

10.- Si $f(x) = 2x + 1$ y $g(x) = x^2$, calcula $(f\circ g)(2)$ y $(g\circ f)(2)$.

10. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$(f\circ g)(2) = f(4) = 9$ y $(g\circ f)(2) = g(5) = 25$.

11.- Si $f(x) = \sqrt{x}$ y $g(x) = x + 3$, ¿cuál es $(f\circ g)(x)$ y su dominio?

11. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$(f\circ g)(x) = \sqrt{x + 3}$, con dominio $[-3,\, \infty)$.

12.- Si $f(x) = x^2 + x$ y $g(x) = x - 2$, el producto $(f\cdot g)(x)$ es:

• a) $x^3 - x^2 - 2x$
• b) $x^3 + x^2 - 2x$
• c) $x^3 - 2x^2 + x$
• d) $x^2 - 2$

12. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

a) $(x^2 + x)(x - 2) = x^3 - 2x^2 + x^2 - 2x = x^3 - x^2 - 2x$.

13.- Simplifica $\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)$ si $f(x) = x^2 - 9$ y $g(x) = x - 3$.

13. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x + 3$, con $x \neq 3$.

14.- La inversa de $f(x) = \dfrac{2x - 1}{5}$ es:

• a) $\dfrac{5x - 1}{2}$
• b) $\dfrac{5x + 1}{2}$
• c) $\dfrac{5}{2x - 1}$
• d) $\dfrac{2x + 1}{5}$

14. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

b) $y = \dfrac{2x-1}{5} \Rightarrow 5y = 2x - 1 \Rightarrow x = \dfrac{5y + 1}{2}$. Al intercambiar: $f^{-1}(x) = \dfrac{5x+1}{2}$.

15.- ¿La función $f(x) = x^3 - x$ es par, impar o ninguna?

15. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Impar: $f(-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -f(x)$.

Si tuviste dudas, repasa las clases de esta unidad:

Dominio y rango

Tipos de funciones algebraicas

Álgebra de funciones

Referencias

• Stewart, J., Redlin, L. y Watson, S. (2017). Precálculo: matemáticas para el cálculo (7.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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