Desigualdades de primer grado: propiedades, intervalos y solución

Una desigualdad compara dos cantidades que no son iguales: «gasté menos de $200», «la temperatura fue al menos de 15 °C». A diferencia de una ecuación, su solución no suele ser un solo número, sino un conjunto de números, que se escribe como intervalo.

Símbolos de desigualdad

Propiedades

Las desigualdades se resuelven casi igual que las ecuaciones de primer grado, con una diferencia importante:

1. Si sumas o restas el mismo número en ambos lados, la desigualdad se conserva: si $a < b$, entonces $a + c < b + c$.
2. Si multiplicas o divides entre un número positivo, la desigualdad se conserva.
3. Si multiplicas o divides entre un número negativo, la desigualdad se invierte: si $a < b$ y $c < 0$, entonces $ac > bc$.

Comprueba la tercera con números: $2 < 5$, pero al multiplicar por $-1$ queda $-2 > -5$.

Estas propiedades vienen de los postulados de orden de los números reales.

Notación de intervalos

El infinito ($\infty$) siempre lleva paréntesis, porque no es un número que se pueda alcanzar. En la recta numérica, un extremo incluido se dibuja con un círculo relleno (●) y uno excluido con un círculo vacío (○).

Ejemplos resueltos

1. $3x - 5 < 7$

$$3x < 12 \;\Rightarrow\; x < 4 \qquad\text{Solución: } (-\infty,\, 4)$$

2. Dividir entre un negativo. $-2x + 1 \ge 9$

$$-2x \ge 8 \;\Rightarrow\; x \le -4 \qquad\text{Solución: } (-\infty,\, -4]$$

Al dividir entre $-2$, el $\ge$ se convirtió en $\le$.

3. Con fracciones. $\dfrac{x-1}{3} - \dfrac{x+2}{2} > 1$. Se multiplica por 6 (positivo, no cambia el sentido):

$$2(x-1) - 3(x+2) > 6 \;\Rightarrow\; -x - 8 > 6 \;\Rightarrow\; -x > 14 \;\Rightarrow\; x < -14$$

4. Desigualdad doble. $-3 < 2x + 1 \le 7$. Se opera en las tres partes a la vez:

$$-4 < 2x \le 6 \;\Rightarrow\; -2 < x \le 3 \qquad\text{Solución: } (-2,\, 3]$$

Desigualdades con valor absoluto

El valor absoluto $|x|$ es la distancia de $x$ al cero. Por eso:

• $|x - a| < r$ significa $-r < x - a < r$ (los puntos a menos de $r$ de $a$).
• $|x - a| > r$ significa $x - a < -r$ o $x - a > r$ (los puntos a más de $r$ de $a$).

$$|x - 2| < 3 \;\Rightarrow\; -3 < x - 2 < 3 \;\Rightarrow\; -1 < x < 5$$

$$|2x + 1| \ge 5 \;\Rightarrow\; 2x + 1 \le -5 \;\;\text{o}\;\; 2x + 1 \ge 5 \;\Rightarrow\; x \le -3 \;\;\text{o}\;\; x \ge 2$$

Interpretación gráfica

Resolver $3x - 5 < 7$ equivale a buscar dónde la recta $y = 3x - 5$ está por debajo de la recta horizontal $y = 7$: ocurre para todos los $x$ menores que 4.

• y = 3x − 5

Comprueba lo aprendido

1. Resuelve $5 - x > 2$Ver respuestaOcultar respuesta

$-x > -3 \Rightarrow x < 3$. Solución: $(-\infty,\, 3)$.

2. Escribe $-1 \le x < 6$ como intervaloVer respuestaOcultar respuesta

$[-1,\, 6)$.

3. Resuelve $|x| \le 4$Ver respuestaOcultar respuesta

$-4 \le x \le 4$, es decir, $[-4,\, 4]$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de desigualdades

Referencias

• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Baldor, A. (2007). Álgebra. Grupo Editorial Patria.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

Ver Libro